Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 473
2014-06-01 
К динамометру приложена сила 4 Н так, что он движется с постоянным ускорением по горизонтальному столу. Что показывает динамометр, если масса пружины равна массе корпуса?
Решение:
Возникающая при растяжении пружины сила упругости $T$ пропорциональна удлинению пружины $\Delta L$:
$T=k \cdot \Delta L$,
где $k$ - жесткость пружины.
В обычных условиях, когда динамометр неподвижен, сила упругости в любом сечении пружины одна и та же, т. е. любые равные участки пружины удлиняются при растяжении на одну и ту же величину.
При движении динамометра с ускорением дело обстоит не так.
Рассмотрим сечение пружины, которое находится на расстоянии х от конца пружины, прикрепленного к корпусу динамометра (рис.). Сила упругости $T_{x}$ сообщает ускорение корпусу динамометра и участку пружины длиной х. Масса этого участка пружины равна
$M_{x}= \frac{M}{L} x$,
где $M$ - масса и $L$ - длина всей пружины. Если динамометр движется с ускорением $\bar{a}$, то согласно второму закону Ньютона силу упругости в сечении х можно записать так:
$T_{x}=\left ( M+ M \frac{x}{L} \right ) a$. (3)
Так как ускорение динамометру сообщает сила $\bar{F}$, то
$a = \frac{F}{M+M} = \frac{1}{2} \frac{F}{M}$. (4)
Поэтому
$T_{x} = \frac{1}{2} F \left ( 1 + \frac{x}{L} \right )$. (5)
Итак, сила $T_{x}$ меняется от сечения к сечению вдоль пружины.
Для того чтобы найти удлинение пружины, мысленно разобьем нерастянутую пружину на одинаковые маленькие участки длиной $\Delta l$. На каждом таком участке можно силу упругости считать постоянной. Пусть таких участков будет $n(n \gg 1)$. Так как при одной и той же силе упругости деформация $n$ соединенных последовательно участков в $n$ раз больше деформации одного участка, то жесткость одного участка в $n$ раз больше жесткости всей пружины:
$k^{1}=kn$.
Будем отсчитывать участки от конца пружины, прикрепленного к корпусу динамометра. Удлинение i-го участка равно
$\Delta l_{i} = \frac{T_{i}}{k^{1}} = \frac{T_{i}}{kn}$.
Но, как следует из формулы (5),
$T_{i}=\frac{1}{2}F \left ( 1 + \frac{il}{nl} \right ) = \frac{1}{2} F \left ( 1 + \frac{i}{n} \right )$
Поэтому
$\Delta l_{i} = \frac{1}{2kn} F \left ( 1+ \frac{i}{n} \right )$.
Полное удлинение пружины найдем суммированием удлинений отдельных участков:
$\Delta l = \sum \Delta l_{i} = \frac{1}{2kn} F \sum \left ( 1 + \frac{i}{n} \right )$.
Так как $\sum^{n}_{1} \left ( 1 + \frac{i}{n} \right )$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии с разностью прогрессии $\frac{1}{n}$, то
$\Delta l = \frac{F}{4k} \frac{3n+1}{n}$.
Но $n \gg 1$. Поэтому
$\Delta l \approx \frac{3}{4} \frac{F}{k}$.
Подставив это выражение для $\Delta L$ в формулу (1), найдем показания динамометра:
$T= k \frac{3F}{4k} = \frac{3}{4}F=3 H$.
К динамометру приложена сила 4 Н так, что он движется с постоянным ускорением по горизонтальному столу. Что показывает динамометр, если масса пружины равна массе корпуса?
Решение:
Возникающая при растяжении пружины сила упругости $T$ пропорциональна удлинению пружины $\Delta L$:
$T=k \cdot \Delta L$,
где $k$ - жесткость пружины.
В обычных условиях, когда динамометр неподвижен, сила упругости в любом сечении пружины одна и та же, т. е. любые равные участки пружины удлиняются при растяжении на одну и ту же величину.
При движении динамометра с ускорением дело обстоит не так.
Рассмотрим сечение пружины, которое находится на расстоянии х от конца пружины, прикрепленного к корпусу динамометра (рис.). Сила упругости $T_{x}$ сообщает ускорение корпусу динамометра и участку пружины длиной х. Масса этого участка пружины равна
$M_{x}= \frac{M}{L} x$,
где $M$ - масса и $L$ - длина всей пружины. Если динамометр движется с ускорением $\bar{a}$, то согласно второму закону Ньютона силу упругости в сечении х можно записать так:
$T_{x}=\left ( M+ M \frac{x}{L} \right ) a$. (3)
Так как ускорение динамометру сообщает сила $\bar{F}$, то
$a = \frac{F}{M+M} = \frac{1}{2} \frac{F}{M}$. (4)
Поэтому
$T_{x} = \frac{1}{2} F \left ( 1 + \frac{x}{L} \right )$. (5)
Итак, сила $T_{x}$ меняется от сечения к сечению вдоль пружины.
Для того чтобы найти удлинение пружины, мысленно разобьем нерастянутую пружину на одинаковые маленькие участки длиной $\Delta l$. На каждом таком участке можно силу упругости считать постоянной. Пусть таких участков будет $n(n \gg 1)$. Так как при одной и той же силе упругости деформация $n$ соединенных последовательно участков в $n$ раз больше деформации одного участка, то жесткость одного участка в $n$ раз больше жесткости всей пружины:
$k^{1}=kn$.
Будем отсчитывать участки от конца пружины, прикрепленного к корпусу динамометра. Удлинение i-го участка равно
$\Delta l_{i} = \frac{T_{i}}{k^{1}} = \frac{T_{i}}{kn}$.
Но, как следует из формулы (5),
$T_{i}=\frac{1}{2}F \left ( 1 + \frac{il}{nl} \right ) = \frac{1}{2} F \left ( 1 + \frac{i}{n} \right )$
Поэтому
$\Delta l_{i} = \frac{1}{2kn} F \left ( 1+ \frac{i}{n} \right )$.
Полное удлинение пружины найдем суммированием удлинений отдельных участков:
$\Delta l = \sum \Delta l_{i} = \frac{1}{2kn} F \sum \left ( 1 + \frac{i}{n} \right )$.
Так как $\sum^{n}_{1} \left ( 1 + \frac{i}{n} \right )$ представляет собой сумму членов арифметической прогрессии с разностью прогрессии $\frac{1}{n}$, то
$\Delta l = \frac{F}{4k} \frac{3n+1}{n}$.
Но $n \gg 1$. Поэтому
$\Delta l \approx \frac{3}{4} \frac{F}{k}$.
Подставив это выражение для $\Delta L$ в формулу (1), найдем показания динамометра:
$T= k \frac{3F}{4k} = \frac{3}{4}F=3 H$.
