Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4715
2017-11-06 
Цилиндрическая трубка манометра Торричелли подвешена к динамометру, как показано на рис. Нижний открытый конец трубки соприкасается со ртутью, налитой в чашу. При нормальном атмосферном давлении 760 мм.рт.cт. динамометр показывает вес 2 Н. Когда атмосферное давление повысилось до 800 мм pт. cт. динамометр стал показывать 2,079 Н. Каков вес самой трубки без ртути?
Решение:
Сначала докажем, что динамометр должен показывать сумму весов трубки и столба ртути, отсчитываемого от уровня ртути в чаше. Это нетривиально, поскольку столб ртути механически не сцеплен с трубкой. Связь же возникает через посредство давления атмосферного воздуха. Для доказательства проделаем мысленный эксперимент: закроем нижнее сечение трубки тонким невесомым поршнем. Сверху и снизу на поршень действуют одинаковые по величине и противоположные силы гидростатического давления жидкости, равного атмосферному давлению на уровне поверхности ртути. Теперь мысленно склеим поршень с трубкой. Это не должно повлиять на показания динамометра, поскольку сумма сил, действующих на поршень, равна нулю. Теперь можно убрать чашу со ртутью, и у нас останется стеклянный сосуд, заполненный ртутью и висящий на пружине динамометра. Теперь уже нет никаких сомнений в том, что мы собирались доказать. Заметим, что все рассуждения остаются справедливыми, даже если сама трубка имеет неправильную форму, например, утолщения или изгибы. Для дальнейшего все-таки существенно, что трубка имеет цилиндрическую форму. Пусть $H$ означает текущую величину атмосферного давления, выраженную в единицах длины торричеллиева столба жидкости. Тогда вес жидкости в цилиндрическом столбе равен
$P_{ж} = \rho gSH$,
где $S$ - площадь внутреннего сечения трубки, $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение силы тяжести.
По условию задачи составляются два уравнения для показаний динамометра:
$P_{1} = P_{тр} + \rho ghSH_{1}$,
$P_{2} = P_{тр} + \rho ghSH_{2}$,
где $P_{тр}$ — вес трубки. Вычитая одно из другого, находим неизвестную константу
$\rho gS = \frac{P_{2} - P_{1}}{H_{2} - H_{1}}$.
Теперь можно сосчитать вес трубки, выразив его через любое из двух уравнений:
$P_{тр} = \frac{P_{1}H_{2} - P_{2}H_{1}}{H_{2} - H_{1}} = \frac{2 \cdot 800 - 2,709 \cdot 760}{800 - 760} \approx 0,5 Н$.
Цилиндрическая трубка манометра Торричелли подвешена к динамометру, как показано на рис. Нижний открытый конец трубки соприкасается со ртутью, налитой в чашу. При нормальном атмосферном давлении 760 мм.рт.cт. динамометр показывает вес 2 Н. Когда атмосферное давление повысилось до 800 мм pт. cт. динамометр стал показывать 2,079 Н. Каков вес самой трубки без ртути?
Решение:
Сначала докажем, что динамометр должен показывать сумму весов трубки и столба ртути, отсчитываемого от уровня ртути в чаше. Это нетривиально, поскольку столб ртути механически не сцеплен с трубкой. Связь же возникает через посредство давления атмосферного воздуха. Для доказательства проделаем мысленный эксперимент: закроем нижнее сечение трубки тонким невесомым поршнем. Сверху и снизу на поршень действуют одинаковые по величине и противоположные силы гидростатического давления жидкости, равного атмосферному давлению на уровне поверхности ртути. Теперь мысленно склеим поршень с трубкой. Это не должно повлиять на показания динамометра, поскольку сумма сил, действующих на поршень, равна нулю. Теперь можно убрать чашу со ртутью, и у нас останется стеклянный сосуд, заполненный ртутью и висящий на пружине динамометра. Теперь уже нет никаких сомнений в том, что мы собирались доказать. Заметим, что все рассуждения остаются справедливыми, даже если сама трубка имеет неправильную форму, например, утолщения или изгибы. Для дальнейшего все-таки существенно, что трубка имеет цилиндрическую форму. Пусть $H$ означает текущую величину атмосферного давления, выраженную в единицах длины торричеллиева столба жидкости. Тогда вес жидкости в цилиндрическом столбе равен
$P_{ж} = \rho gSH$,
где $S$ - площадь внутреннего сечения трубки, $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение силы тяжести.
По условию задачи составляются два уравнения для показаний динамометра:
$P_{1} = P_{тр} + \rho ghSH_{1}$,
$P_{2} = P_{тр} + \rho ghSH_{2}$,
где $P_{тр}$ — вес трубки. Вычитая одно из другого, находим неизвестную константу
$\rho gS = \frac{P_{2} - P_{1}}{H_{2} - H_{1}}$.
Теперь можно сосчитать вес трубки, выразив его через любое из двух уравнений:
$P_{тр} = \frac{P_{1}H_{2} - P_{2}H_{1}}{H_{2} - H_{1}} = \frac{2 \cdot 800 - 2,709 \cdot 760}{800 - 760} \approx 0,5 Н$.
