Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4691
2017-11-06 
Как выгоднее разогревать заварочный чайник перед завариванием в нем чая: целиком залить стакан кипятка, или залить полстакана, подождать наступления теплового равновесия, воду вылить и залить вторую половину стакана? Теплообменом со средой пренебречь.
Решение:
Для некоторого количества воды $\Delta m$ с температурой $T$, влитой в чайник с температурой $T^{ \prime} < T$, уравнение теплового баланса
$C(T_{1} - T^{ \prime}) = c_{в} \Delta m(T - T_{1})$
дает результирующую температуру системы "чайник-вода":
$T_{1} = \frac{1 + \gamma \tau^{ \prime}}{1 + \gamma} T$, (1)
где $C$ — теплоемкость чайника, $\gamma = C/c_{в} \Delta m, \tau^{ \prime} = T^{ \prime}/T$ — безразмерная начальная температура чайника.
Если заливать это же количество воды в чайник равными частями, то (1) дает для температуры после первой порции горячей воды:
$\tilde{T} = \frac{1 + 2 \gamma \tau^{ \prime}}{1 + 2 \gamma} T$, (2)
а после второй порции (первую вылили):
$T_{2} = \frac{1 + 2 \gamma \tilde{ \tau}}{1 + 2 \gamma} T$,
где $\tilde{ \tau} = \tilde{T}/T$, или после подстановки $\tilde{T}$ из (2):
$T_{2} = \frac{1 + 4 \gamma + 4 \gamma^{2} \tau^{ \prime}}{(1 + 2 \gamma)^{2}} T$. (3)
Для ответа на поставленный в условии вопрос удобно исследовать знак выражения $T_{2} - T_{1}$. Комбинируя уравнение (1) с (3), имеем
$T_{2} - T_{1} = \cdots = \frac{ \gamma ( 1 - \tau^{ \prime})}{(1 + \gamma)(1 + 4 \gamma + 4 \gamma^{2})} T > 0$,
так как $\gamma > 0$ и $\tau^{ \prime} = T^{ \prime}/T < 1$ по самой постановке задачи. Поэтому выгоднее оказывается прогревать чайник по частям. Поскольку эти же рассуждения применимы для любой части кипятка, то теоретически, самым выгодным оказывается способ, практически неосуществимый — прогрев чайника бесконечно малыми порциями кипятка с непрерывным их выливанием. Интересно оценить выигрыш в температуре для реального процесса. Полагая $\tau^{ \prime} \approx 293/373 \sim 0,8; \gamma \sim 0,4$ для 300-граммового фарфорового чайника и стакана кипятка, получаем $\Delta T = T_{2} - T_{1} \approx 7 К$.
Как выгоднее разогревать заварочный чайник перед завариванием в нем чая: целиком залить стакан кипятка, или залить полстакана, подождать наступления теплового равновесия, воду вылить и залить вторую половину стакана? Теплообменом со средой пренебречь.
Решение:
Для некоторого количества воды $\Delta m$ с температурой $T$, влитой в чайник с температурой $T^{ \prime} < T$, уравнение теплового баланса
$C(T_{1} - T^{ \prime}) = c_{в} \Delta m(T - T_{1})$
дает результирующую температуру системы "чайник-вода":
$T_{1} = \frac{1 + \gamma \tau^{ \prime}}{1 + \gamma} T$, (1)
где $C$ — теплоемкость чайника, $\gamma = C/c_{в} \Delta m, \tau^{ \prime} = T^{ \prime}/T$ — безразмерная начальная температура чайника.
Если заливать это же количество воды в чайник равными частями, то (1) дает для температуры после первой порции горячей воды:
$\tilde{T} = \frac{1 + 2 \gamma \tau^{ \prime}}{1 + 2 \gamma} T$, (2)
а после второй порции (первую вылили):
$T_{2} = \frac{1 + 2 \gamma \tilde{ \tau}}{1 + 2 \gamma} T$,
где $\tilde{ \tau} = \tilde{T}/T$, или после подстановки $\tilde{T}$ из (2):
$T_{2} = \frac{1 + 4 \gamma + 4 \gamma^{2} \tau^{ \prime}}{(1 + 2 \gamma)^{2}} T$. (3)
Для ответа на поставленный в условии вопрос удобно исследовать знак выражения $T_{2} - T_{1}$. Комбинируя уравнение (1) с (3), имеем
$T_{2} - T_{1} = \cdots = \frac{ \gamma ( 1 - \tau^{ \prime})}{(1 + \gamma)(1 + 4 \gamma + 4 \gamma^{2})} T > 0$,
так как $\gamma > 0$ и $\tau^{ \prime} = T^{ \prime}/T < 1$ по самой постановке задачи. Поэтому выгоднее оказывается прогревать чайник по частям. Поскольку эти же рассуждения применимы для любой части кипятка, то теоретически, самым выгодным оказывается способ, практически неосуществимый — прогрев чайника бесконечно малыми порциями кипятка с непрерывным их выливанием. Интересно оценить выигрыш в температуре для реального процесса. Полагая $\tau^{ \prime} \approx 293/373 \sim 0,8; \gamma \sim 0,4$ для 300-граммового фарфорового чайника и стакана кипятка, получаем $\Delta T = T_{2} - T_{1} \approx 7 К$.
