Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 469
2014-06-01 
Два протона и два позитрона, первоначально покоившиеся в вершинах квадрата (рис.), разлетаются. Отношение их масс $M/m = 2000$, а заряды одинаковы. Найти отношение скоростей протонов и позитронов после разлета (на бесконечности).
Решение:
Вначале на все частицы действуют одинаковые по модулю силы. Но массы протонов в 2000 раз превышают массы позитронов. Это означает, что ускорения позитронов будут в 2000 раз больше ускорения протонов. Поэтому позитроны быстро разлетятся на бесконечность, а затем протоны будут разлетаться уже только взаимодействуя друг с другом. Это дает возможность при вычислении скоростей позитронов протоны считать неподвижными.
Найдем полную потенциальную энергию позитронов до разлета. Если бы протонов не было, то потенциальная энергия взаимодействия двух позитронов была бы равна
$W= \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}}$.
Это работа, которую нужно затратить для сближения двух позитронов. Потенциал поля, которое создает каждый из протонов в точке, где находится позитрон, очевидно, равен
$\phi=\frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0}a}$.
Поэтому полная потенциальная энергия позитронов будет равна
$W_{1}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}} + 2 \frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} a } + 2 \frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} a } e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left ( 4 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) \frac{e^{2}}{2}$
Вся эта потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию позитронов при их разлете. Поэтому
$\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a} \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) = 2 \frac{mv^{2}}{2}$
или
$mv^{2} = \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a }$
(скорости обоих позитронов на бесконечности одинаковы).
Теперь рассмотрим разлет протонов. Их потенциальная энергия до разлета, очевидно, равна
$W_{2}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}}$
Эта энергия переходит в кинетическую энергию протонов после их разлета:
$\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}} = Mu^{2}$, (2)
где $u$ - скорость протона.
Разделив теперь уравнение (2) на уравнение (1), получим:
$\frac{1}{4 \sqrt{2} + 1} = \frac{M}{m} \left ( \frac{u}{v} \right )^{2}$
откуда
$\frac{u}{v}=\sqrt{\frac{m}{M} \frac{1}{4 \sqrt{2} + 1}} \approx 0,01$.
Два протона и два позитрона, первоначально покоившиеся в вершинах квадрата (рис.), разлетаются. Отношение их масс $M/m = 2000$, а заряды одинаковы. Найти отношение скоростей протонов и позитронов после разлета (на бесконечности).
Решение:
Вначале на все частицы действуют одинаковые по модулю силы. Но массы протонов в 2000 раз превышают массы позитронов. Это означает, что ускорения позитронов будут в 2000 раз больше ускорения протонов. Поэтому позитроны быстро разлетятся на бесконечность, а затем протоны будут разлетаться уже только взаимодействуя друг с другом. Это дает возможность при вычислении скоростей позитронов протоны считать неподвижными.
Найдем полную потенциальную энергию позитронов до разлета. Если бы протонов не было, то потенциальная энергия взаимодействия двух позитронов была бы равна
$W= \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}}$.
Это работа, которую нужно затратить для сближения двух позитронов. Потенциал поля, которое создает каждый из протонов в точке, где находится позитрон, очевидно, равен
$\phi=\frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0}a}$.
Поэтому полная потенциальная энергия позитронов будет равна
$W_{1}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}} + 2 \frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} a } + 2 \frac{e}{4 \pi \varepsilon_{0} a } e = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \left ( 4 + \frac{1}{\sqrt{2}} \right ) \frac{e^{2}}{2}$
Вся эта потенциальная энергия перейдет в кинетическую энергию позитронов при их разлете. Поэтому
$\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a} \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) = 2 \frac{mv^{2}}{2}$
или
$mv^{2} = \left ( 4 + \frac{1}{ \sqrt{2}} \right ) \frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a }$
(скорости обоих позитронов на бесконечности одинаковы).
Теперь рассмотрим разлет протонов. Их потенциальная энергия до разлета, очевидно, равна
$W_{2}=\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}}$
Эта энергия переходит в кинетическую энергию протонов после их разлета:
$\frac{e^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} a \sqrt{2}} = Mu^{2}$, (2)
где $u$ - скорость протона.
Разделив теперь уравнение (2) на уравнение (1), получим:
$\frac{1}{4 \sqrt{2} + 1} = \frac{M}{m} \left ( \frac{u}{v} \right )^{2}$
откуда
$\frac{u}{v}=\sqrt{\frac{m}{M} \frac{1}{4 \sqrt{2} + 1}} \approx 0,01$.
