Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4664
2017-10-29 
Внешняя цепь сопротивлением 0,3 ом питается от шести аккумуляторов, у каждого из которых электродвижущая сила равна 2 в, а внутреннее сопротивление 0,2 ом. Аккумуляторы соединяются в отдельные группы последовательно, а группы соединяются друг с другом параллельно. При каком способе соединения аккумуляторов в такие группы будет получена наибольшая величина тока в цепи?
Решение:
Предположим что группа состоит из $m$ элементов, а так как всего $N$ элементов, то получим $k = \frac{N}{m}$ групп. Величина тока при таком соединении будет определяться формулой
$I = \frac{mE}{ \frac{mr}{k} + R} = \frac{E}{ \frac{r}{k} + \frac{R}{m}}$.
Задача сводится к нахождению такого $m$, при котором $I$ припишет наибольшее значение, или, что то же самое, к нахождению такого $m$, при котором знаменатель дроби минимален. Добавляя к знаменателю и вычитая из него одну и ту же величину образуем его:
$\frac{r}{k} + \frac{R}{m} = \frac{m}{N} r + \frac{R}{m} = \frac{m}{N} r - 2 \sqrt{ \frac{rR}{N}} + \frac{R}{m} + 2 \sqrt{ \frac{rR}{N}} = \left ( \sqrt{ \frac{m}{N}r} - \sqrt{ \frac{R}{m}} \right )^{2} + 2 \sqrt{ \frac{rR}{N}}$.
Отсюда видно, что знаменатель минимален, если
$\sqrt{ \frac{m}{N} r} = \sqrt{ \frac{R}{m}}$.
Из этого условия определяем $m$:
$m = \sqrt{ N \frac{R}{r}} = 3$.
Таким образом, группа должна состоять из трех аккумуляторов. Число таких групп $k = \frac{N}{m}$ равно 2. Величина тока при этом достигает значения
$I_{max} = \frac{E}{2} \sqrt{ \frac{N}{rR}} = 10$.
Интересно отметить, что при таком соединении элементов внутреннее сопротивление батареи $r_{вн} = \frac{mr}{k} = \frac{m^{2}r}{N}$ равно внешнему сопротивлению цепи $R$. Действительно, подставляя в это выражение для $r_{вн}$ значение $m = \sqrt{ \frac{NR}{r}}$, получаем $r_{вн} = R$.
Внешняя цепь сопротивлением 0,3 ом питается от шести аккумуляторов, у каждого из которых электродвижущая сила равна 2 в, а внутреннее сопротивление 0,2 ом. Аккумуляторы соединяются в отдельные группы последовательно, а группы соединяются друг с другом параллельно. При каком способе соединения аккумуляторов в такие группы будет получена наибольшая величина тока в цепи?
Решение:
Предположим что группа состоит из $m$ элементов, а так как всего $N$ элементов, то получим $k = \frac{N}{m}$ групп. Величина тока при таком соединении будет определяться формулой
$I = \frac{mE}{ \frac{mr}{k} + R} = \frac{E}{ \frac{r}{k} + \frac{R}{m}}$.
Задача сводится к нахождению такого $m$, при котором $I$ припишет наибольшее значение, или, что то же самое, к нахождению такого $m$, при котором знаменатель дроби минимален. Добавляя к знаменателю и вычитая из него одну и ту же величину образуем его:
$\frac{r}{k} + \frac{R}{m} = \frac{m}{N} r + \frac{R}{m} = \frac{m}{N} r - 2 \sqrt{ \frac{rR}{N}} + \frac{R}{m} + 2 \sqrt{ \frac{rR}{N}} = \left ( \sqrt{ \frac{m}{N}r} - \sqrt{ \frac{R}{m}} \right )^{2} + 2 \sqrt{ \frac{rR}{N}}$.
Отсюда видно, что знаменатель минимален, если
$\sqrt{ \frac{m}{N} r} = \sqrt{ \frac{R}{m}}$.
Из этого условия определяем $m$:
$m = \sqrt{ N \frac{R}{r}} = 3$.
Таким образом, группа должна состоять из трех аккумуляторов. Число таких групп $k = \frac{N}{m}$ равно 2. Величина тока при этом достигает значения
$I_{max} = \frac{E}{2} \sqrt{ \frac{N}{rR}} = 10$.
Интересно отметить, что при таком соединении элементов внутреннее сопротивление батареи $r_{вн} = \frac{mr}{k} = \frac{m^{2}r}{N}$ равно внешнему сопротивлению цепи $R$. Действительно, подставляя в это выражение для $r_{вн}$ значение $m = \sqrt{ \frac{NR}{r}}$, получаем $r_{вн} = R$.
