Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4652
2017-10-29 
В стеклянную трубку со ртутью вставлен медный стержень (рис.). При этом длина и площадь поперечного сечения ртутного столба кольцевого сечения и стержня оказались одинаковыми. Найти отношение сопротивления системы стержень — ртуть, когда стержень соприкасается с поверхностью ртути, к сопротивлению системы, когда стержень находится в ртути. Удельное сопротивление меди $1,71 \cdot 10^{-8}$, ртути $9,4 \cdot 10^{-7} ом \cdot м$.
Решение:
При погружении медного стержня в ртуть столб ртути имеет длину и сечение, равные длине и сечению стержня. Обозначая через $R_{1}$ сопротивление стержня, а через $R_{2}$ сопротивление ртутного столба, получим
$R_{1} = \rho_{1} \frac{l}{S}; R_{2} = \rho_{2} \frac{l}{S}$.
Рассматривая стержень и ртутный столб как параллельно соединенные проводники, определим их общее сопротивление $R_{3}$ но формуле
$\frac{1}{R_{3}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{S}{ \rho_{1}l} + \frac{S}{ \rho_{2}l}$,
откуда
$R_{3} = \frac{l \rho_{1} \rho_{2}}{S ( \rho_{1} + \rho_{2} )}$.
Когда стержень соприкасается с поверхностью ртути, соединение проводников последовательное. Сопротивление стержня остается прежним, а сопротивление ртутного столба изменяется в результате уменьшения его высоты вдвое и увеличения сечения в два раза, следовательно,
$R_{2}^{ \prime} = \rho_{2} \frac{ \frac{l}{2}}{2S} = \rho_{2} \frac{l}{4S} = \frac{R_{2}}{4}$.
Общее сопротивление
$R_{4} = R_{1} + R_{2}^{ \prime} = \rho_{1} \frac{l}{S} + \rho_{2} \frac{l}{4S} = \frac{l}{S} \left ( \rho_{1} + \frac{ \rho_{2}}{4} \right )$.
Отношение сопротивлений
$\frac{R_{4}}{R_{3}} = \frac{ \left ( \rho_{1} + \frac{ \rho_{2}}{4} \right ) ( \rho_{1} + \rho_{2})}{ \rho_{1} \cdot \rho_{2}} = \frac{(4 \rho_{1} + \rho_{2})( \rho_{1} + \rho_{2})}{4 \rho_{1} \rho_{2}}$,
$\frac{R_{4}}{R_{3}} = \frac{ (6,84 \cdot 10^{-8} + 9,4 \cdot 10^{-7}) (1,71 \cdot 10^{-8} + 9,4 \cdot 10^{-7}) }{ 4 \cdot 1,71 \cdot 10^{-8} \cdot 9,4 \cdot 10^{-7}} \approx 15$.
В стеклянную трубку со ртутью вставлен медный стержень (рис.). При этом длина и площадь поперечного сечения ртутного столба кольцевого сечения и стержня оказались одинаковыми. Найти отношение сопротивления системы стержень — ртуть, когда стержень соприкасается с поверхностью ртути, к сопротивлению системы, когда стержень находится в ртути. Удельное сопротивление меди $1,71 \cdot 10^{-8}$, ртути $9,4 \cdot 10^{-7} ом \cdot м$.
Решение:
При погружении медного стержня в ртуть столб ртути имеет длину и сечение, равные длине и сечению стержня. Обозначая через $R_{1}$ сопротивление стержня, а через $R_{2}$ сопротивление ртутного столба, получим
$R_{1} = \rho_{1} \frac{l}{S}; R_{2} = \rho_{2} \frac{l}{S}$.
Рассматривая стержень и ртутный столб как параллельно соединенные проводники, определим их общее сопротивление $R_{3}$ но формуле
$\frac{1}{R_{3}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{S}{ \rho_{1}l} + \frac{S}{ \rho_{2}l}$,
откуда
$R_{3} = \frac{l \rho_{1} \rho_{2}}{S ( \rho_{1} + \rho_{2} )}$.
Когда стержень соприкасается с поверхностью ртути, соединение проводников последовательное. Сопротивление стержня остается прежним, а сопротивление ртутного столба изменяется в результате уменьшения его высоты вдвое и увеличения сечения в два раза, следовательно,
$R_{2}^{ \prime} = \rho_{2} \frac{ \frac{l}{2}}{2S} = \rho_{2} \frac{l}{4S} = \frac{R_{2}}{4}$.
Общее сопротивление
$R_{4} = R_{1} + R_{2}^{ \prime} = \rho_{1} \frac{l}{S} + \rho_{2} \frac{l}{4S} = \frac{l}{S} \left ( \rho_{1} + \frac{ \rho_{2}}{4} \right )$.
Отношение сопротивлений
$\frac{R_{4}}{R_{3}} = \frac{ \left ( \rho_{1} + \frac{ \rho_{2}}{4} \right ) ( \rho_{1} + \rho_{2})}{ \rho_{1} \cdot \rho_{2}} = \frac{(4 \rho_{1} + \rho_{2})( \rho_{1} + \rho_{2})}{4 \rho_{1} \rho_{2}}$,
$\frac{R_{4}}{R_{3}} = \frac{ (6,84 \cdot 10^{-8} + 9,4 \cdot 10^{-7}) (1,71 \cdot 10^{-8} + 9,4 \cdot 10^{-7}) }{ 4 \cdot 1,71 \cdot 10^{-8} \cdot 9,4 \cdot 10^{-7}} \approx 15$.
