Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4648
2017-10-29 
На сколько градусов нагреется капля ртути, полученная от слияния двух капель диаметром 1 мм каждая?
Решение:
Чтобы увеличить поверхность жидкости на некоторое значение, необходимо совершить работу (рис.)
$A = Fh = \sigma hl = \sigma \Delta S$.
В нашем случае при слиянии двух капель ртути происходит уменьшение поверхности и выделение энергии поверхностного слоя в виде тепла
$\Delta E = \sigma \Delta S$,
где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения ртути; $\Delta S$ — изменение площади поверхности:
$\Delta S = 2 \cdot 4 \pi r^{2} - 4 \pi R^{2}$,
где $r$ — радиус малых капель; $R$ — радиус большой капли. Радиус $R$ находим, приравнивая объем большой капли к сумме объемов слившихся капель
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}$,
откуда
$R = r \sqrt[3]{2}$.
Тогда
$\Delta S = 2 \cdot 4 \pi r^{2} - 4 \pi r^{2} \sqrt[3]{4} = 4 \pi r^{2} (2 - \sqrt[3]{4})$.
Уменьшение поверхности ртути на $\Delta S$ соответствует выделению энергии
$\Delta E = \sigma \Delta S = \sigma \cdot 4 \pi r^{2} (2 - \sqrt[3]{4})$.
Выделенная энергия пойдет на нагревание ртутной капли, следовательно,
$\Delta E = \Delta Q = cm \Delta t$,
где $c$ — удельная теплоемкость ртути; $m$ — масса ртути; $\Delta t$ — изменение температуры.
Приравнивая выражения для $\Delta E$ и $\Delta Q$, получим
$cm \Delta t = \sigma 4 \pi r^{2} (2 - \sqrt[3]{4})$.
Масса ртути
$m = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$,
где $\rho$ — плотность ртути. Тогда
$c \frac{8}{3} \pi r^{3} \rho \Delta t = 4 \pi r^{2} \sigma (2 - \sqrt[3]{4})$,
откуда
$\Delta t = \frac{3 \sigma (2 - \sqrt[3]{4})}{2 c \rho r}$.
Для ртути $\sigma = 500 дн/см = 0,5 н/м, c = 0,033 кал/г \cdot град = 138 дж/кг \cdot град, \rho = 13 600 кг/м^{3}$.
Подставляя численные значения, получим
$\Delta t = \frac{3 \cdot 0,5 н/м \cdot (2 - \sqrt[3]{4})}{2 \cdot 138 дж/кг \cdot град \cdot 13600 кг/м^{3} \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} м} = 3,301 \cdot 10^{-4} град$.
На сколько градусов нагреется капля ртути, полученная от слияния двух капель диаметром 1 мм каждая?
Решение:
Чтобы увеличить поверхность жидкости на некоторое значение, необходимо совершить работу (рис.)
$A = Fh = \sigma hl = \sigma \Delta S$.
В нашем случае при слиянии двух капель ртути происходит уменьшение поверхности и выделение энергии поверхностного слоя в виде тепла
$\Delta E = \sigma \Delta S$,
где $\sigma$ — коэффициент поверхностного натяжения ртути; $\Delta S$ — изменение площади поверхности:
$\Delta S = 2 \cdot 4 \pi r^{2} - 4 \pi R^{2}$,
где $r$ — радиус малых капель; $R$ — радиус большой капли. Радиус $R$ находим, приравнивая объем большой капли к сумме объемов слившихся капель
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}$,
откуда
$R = r \sqrt[3]{2}$.
Тогда
$\Delta S = 2 \cdot 4 \pi r^{2} - 4 \pi r^{2} \sqrt[3]{4} = 4 \pi r^{2} (2 - \sqrt[3]{4})$.
Уменьшение поверхности ртути на $\Delta S$ соответствует выделению энергии
$\Delta E = \sigma \Delta S = \sigma \cdot 4 \pi r^{2} (2 - \sqrt[3]{4})$.
Выделенная энергия пойдет на нагревание ртутной капли, следовательно,
$\Delta E = \Delta Q = cm \Delta t$,
где $c$ — удельная теплоемкость ртути; $m$ — масса ртути; $\Delta t$ — изменение температуры.
Приравнивая выражения для $\Delta E$ и $\Delta Q$, получим
$cm \Delta t = \sigma 4 \pi r^{2} (2 - \sqrt[3]{4})$.
Масса ртути
$m = 2 \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3} \rho$,
где $\rho$ — плотность ртути. Тогда
$c \frac{8}{3} \pi r^{3} \rho \Delta t = 4 \pi r^{2} \sigma (2 - \sqrt[3]{4})$,
откуда
$\Delta t = \frac{3 \sigma (2 - \sqrt[3]{4})}{2 c \rho r}$.
Для ртути $\sigma = 500 дн/см = 0,5 н/м, c = 0,033 кал/г \cdot град = 138 дж/кг \cdot град, \rho = 13 600 кг/м^{3}$.
Подставляя численные значения, получим
$\Delta t = \frac{3 \cdot 0,5 н/м \cdot (2 - \sqrt[3]{4})}{2 \cdot 138 дж/кг \cdot град \cdot 13600 кг/м^{3} \cdot 0,5 \cdot 10^{-3} м} = 3,301 \cdot 10^{-4} град$.
