Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 464
2014-06-01 
Шар радиуса $R$ соскальзывает по лестнице, ширина и высота ступенек которой $a \ll R$ (рис.). Соударения шара со ступеньками неупругие, трения нет. Какой наибольшей скорости достигнет шар при достаточно большой длине лестницы?
Решение:
После удара о ступеньку в точке А (рис.) скорость $\bar{v}$ шара будет направлена перпендикулярно радиусу АО. При дальнейшем движении шара его центр масс будет двигаться по окружности радиуса $R$ с центром в точке А (так как $R \gg a$), и до нового удара шара о ступеньку центр масс опустится на высоту $a$. В тот момент, когда шар ударится о ступеньку в точке В, скорость $\bar{v}_{1}$ его центра масс будет такой, что
$\frac{mv^{2}_{1}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + mga$,
откуда
$v_{1}=\sqrt{v^{2}+2ga}$.
При неупругом ударе о ступеньку вновь сохраняется лишь составляющая скорости шара, перпендикулярная радиусу. При установившейся средней скорости движения шара эта составляющая, очевидно, должна быть равной $\bar{v}$. Так как
$v=v_{1} \cos \alpha$,
то
$v=\sqrt{v^{2}+2ga} \cos \alpha$.
Но при $a \ll R$ получаем:
$\alpha \approx \frac{a \sqrt{2}}{R}, \cos \alpha = \sqrt{1- \sin^{2} \alpha} \approx \sqrt{1- \frac{2a^{2}}{R^{2}}}$.
Следовательно,
$v=\sqrt{(v^{2}+2ga) (1- \frac{2a^{2}}{R^{2}})}$,
откуда
$v=\sqrt{\frac{R^{2}-2a^{2}}{a} g} \approx \sqrt{g \frac{R^{2}}{a}}$
Шар радиуса $R$ соскальзывает по лестнице, ширина и высота ступенек которой $a \ll R$ (рис.). Соударения шара со ступеньками неупругие, трения нет. Какой наибольшей скорости достигнет шар при достаточно большой длине лестницы?
Решение:
После удара о ступеньку в точке А (рис.) скорость $\bar{v}$ шара будет направлена перпендикулярно радиусу АО. При дальнейшем движении шара его центр масс будет двигаться по окружности радиуса $R$ с центром в точке А (так как $R \gg a$), и до нового удара шара о ступеньку центр масс опустится на высоту $a$. В тот момент, когда шар ударится о ступеньку в точке В, скорость $\bar{v}_{1}$ его центра масс будет такой, что
$\frac{mv^{2}_{1}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + mga$,
откуда
$v_{1}=\sqrt{v^{2}+2ga}$.
При неупругом ударе о ступеньку вновь сохраняется лишь составляющая скорости шара, перпендикулярная радиусу. При установившейся средней скорости движения шара эта составляющая, очевидно, должна быть равной $\bar{v}$. Так как
$v=v_{1} \cos \alpha$,
то
$v=\sqrt{v^{2}+2ga} \cos \alpha$.
Но при $a \ll R$ получаем:
$\alpha \approx \frac{a \sqrt{2}}{R}, \cos \alpha = \sqrt{1- \sin^{2} \alpha} \approx \sqrt{1- \frac{2a^{2}}{R^{2}}}$.
Следовательно,
$v=\sqrt{(v^{2}+2ga) (1- \frac{2a^{2}}{R^{2}})}$,
откуда
$v=\sqrt{\frac{R^{2}-2a^{2}}{a} g} \approx \sqrt{g \frac{R^{2}}{a}}$
