Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4639
2017-10-29 
Упругий шар, наполненный газом и имеющий при давлении извне 1 атм радиус 10 см, помещен под колокол воздушного насоса. Чему равно давление под колоколом после откачки, если известно, что при этом радиус шара увеличится на 1 см, а давление, создаваемое оболочкой шара, равно $ar^{2}$, где $a = 1,66 \cdot 10^{7}$ единиц СИ и $r$ — радиус шара?
Решение:
Давление на газ, находящийся внутри шара до откачки, равно
$p_{1} = p_{1}^{ \prime} + p_{0}$,
где $p_{1}^{ \prime}$ — давление, создаваемое оболочкой; $p_{0}$ — давление атмосферы. Аналогично после откачки
$p_{2} = p_{2}^{ \prime} + p_{x}$,
где $p_{2}^{ \prime}$ — давление, создаваемое оболочкой после откачки; $p_{x}$ — искомое давление под колоколом после откачки.
Согласно закону Бойля — Мариотта,
$p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$
или
$(p_{1}^{ \prime} + p_{0})V_{1} = (p_{2}^{ \prime} + p_{x})V_{2}$,
откуда
$p_{x} = \frac{p_{1}^{ \prime}V_{1} + p_{0}V_{1} - p_{2}^{ \prime}V_{2}}{V_{2}}$.
По условию $p_{1}^{ \prime} = ar_{1}^{2}, p_{2}^{ \prime} = ar_{2}^{2}$. Подставляя значения давления $p_{1}^{ \prime}$ и $p_{2}^{ \prime}$, а также значения объемов $V_{1}$ и $V_{2}$ (обьем шара $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$) в равенство для $p_{x}$, находим 4 я 2
$p_{x} = \frac{ \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} ar_{1}^{2} + p_{0} \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} - \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} ar_{2}^{2}}{ \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}}$
$p_{x} = \frac{ar_{1}^{4} + p_{0} r_{1}^{3} - ar_{2}^{4}}{r_{2}^{3}}$.
Подставляя числовые значения из условия, получаем
$p_{x} = \frac{ 1.66 \cdot 10^{2} + 1.013 \cdot 10^{2} - 2,67 \cdot 10^{2}}{1,33 \cdot 10^{-3}} \approx 225 н/м$.
Упругий шар, наполненный газом и имеющий при давлении извне 1 атм радиус 10 см, помещен под колокол воздушного насоса. Чему равно давление под колоколом после откачки, если известно, что при этом радиус шара увеличится на 1 см, а давление, создаваемое оболочкой шара, равно $ar^{2}$, где $a = 1,66 \cdot 10^{7}$ единиц СИ и $r$ — радиус шара?
Решение:
Давление на газ, находящийся внутри шара до откачки, равно
$p_{1} = p_{1}^{ \prime} + p_{0}$,
где $p_{1}^{ \prime}$ — давление, создаваемое оболочкой; $p_{0}$ — давление атмосферы. Аналогично после откачки
$p_{2} = p_{2}^{ \prime} + p_{x}$,
где $p_{2}^{ \prime}$ — давление, создаваемое оболочкой после откачки; $p_{x}$ — искомое давление под колоколом после откачки.
Согласно закону Бойля — Мариотта,
$p_{1}V_{1} = p_{2}V_{2}$
или
$(p_{1}^{ \prime} + p_{0})V_{1} = (p_{2}^{ \prime} + p_{x})V_{2}$,
откуда
$p_{x} = \frac{p_{1}^{ \prime}V_{1} + p_{0}V_{1} - p_{2}^{ \prime}V_{2}}{V_{2}}$.
По условию $p_{1}^{ \prime} = ar_{1}^{2}, p_{2}^{ \prime} = ar_{2}^{2}$. Подставляя значения давления $p_{1}^{ \prime}$ и $p_{2}^{ \prime}$, а также значения объемов $V_{1}$ и $V_{2}$ (обьем шара $V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$) в равенство для $p_{x}$, находим 4 я 2
$p_{x} = \frac{ \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} ar_{1}^{2} + p_{0} \frac{4}{3} \pi r_{1}^{3} - \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3} ar_{2}^{2}}{ \frac{4}{3} \pi r_{2}^{3}}$
$p_{x} = \frac{ar_{1}^{4} + p_{0} r_{1}^{3} - ar_{2}^{4}}{r_{2}^{3}}$.
Подставляя числовые значения из условия, получаем
$p_{x} = \frac{ 1.66 \cdot 10^{2} + 1.013 \cdot 10^{2} - 2,67 \cdot 10^{2}}{1,33 \cdot 10^{-3}} \approx 225 н/м$.
