2014-06-01
Три тела с массами $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ могут скользить вдоль горизонтальной прямой без трения (рис.), причем $m_{1} \gg \m_{2}$ и $m_{2} \gg \m_{2}$. Определить максимальные скорости двух крайних тел, если в начальный момент они покоились, а среднее тело имело скорость $\bar{v}$. Удары считать абсолютно упругими.
Решение:
Столкновения тела массы $m_{2}$ с телами массы $m_{1}$ и $m_{3}$ будут продолжаться до тех пор, пока его скорость не станет меньше скорости одного из тел ($m_{1}$ или $m_{3}$). Но так как $m_{1} \gg m_{2}$ и $m_{3} \gg m_{2}$, то импульс и энергия тела массой $m_{2}$ будет много меньше импульса и энергии этих тел с массами $m_{1}$ и $m_{3}$. Следовательно, записывая закон сохранения энергии и импульса, мы можем не учитывать энергии и импульса тела массой $m_{2}$ после прекращения столкновений. Обозначив через $\bar{v}_{1}$ и $\bar{v}_{2}$ скорости тел с массами $m_{1}$ и $m_{3}$ после того, как прекратятся столкновения, можно записать:
$m_{3}v_{3} – m_{1}v_{1} = m_{2} v$,
$\frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2} + \frac{m_{3}v_{3}^{2}}{2} = \frac{m_{2}v^{2}}{2}$.
Решая эти уравнения совместно и учитывая, что $m_{1} \gg m_{2}$ и $m_{3} \gg m_{2}$, находим:
$v_{1}=v \sqrt{\frac{m_{2}m_{3}}{m_{1}m_{3}+m_{1}^{2}}}$,
$v_{3}=v \sqrt{\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}m_{3}+m_{3}^{2}}}$.