Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4623
2017-10-29 
В железной цилиндрической цистерне высотой 5 м и диаметром 5 м содержится керосин. При температуре $5^{ \circ} С$ керосин не доходит до края на 15 см. Рассчитать, при какой температуре керосин начал бы переливаться через край цистерны. Расчет сделать для двух случаев: без учета расширения цистерны и с учетом расширения.
Решение:
1-й случай. Объем керосина в цистерне при $5^{ \circ} С$
$V_{1} = hS$,
где
$h = h_{1} - h_{2}, S = \frac{ \pi d^{2}}{4}$.
После подстановки этих выражений в уравнение получим
$V_{1} = (h_{1} - h_{1}) \frac{ \pi d^{2}}{4}$,
$V_{1} = \frac{4,85 м \cdot 3,14 \cdot 25 м^{2}}{4} = 95,18 м^{3}$.
Когда керосин при нагревании поднимется до края, его объем будет равен
$V_{2} = h_{1}S = h_{1} \frac{ \pi d^{2}}{4}$,
$V_{2} = \frac{5 м \cdot 3,14 \cdot 25 м^{2}}{4} = 98,12 м^{3}$.
Объемы $V_{1}$ и $V_{2}$ связаны соотношением
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{2}}$,
откуда
$t_{2} = \frac{V_{2} (1 + \beta t_{1}) - V_{1}}{V_{1} \beta}$.
После подстановки в это равенство значений и вычислений получим
$t_{2} = \frac{98,12 м^{2} (1 + 0,001 град^{-1} \cdot 5 град) — 95,18 м^{3}} { 95,18 м^{3} \cdot 0,001 град^{-1}} \approx 36^{ \circ} С$.
2-й случай. При $5^{ \circ} С$ объем цистерны будет $V_{2}$, а после нагревания до $t_{3}$ ее объем будет $V_{3}$, причем
$\frac{V_{2}}{V_{3}} = \frac{1 + \beta_{1} t_{1}}{1 + \beta_{1} t_{3}}$,
где $\beta_{1}$ — коэффициент объемного расширения железа. Откуда
$V_{3} = \frac{V_{2} ( 1 + \beta_{1} t_{3})}{1 + \beta_{1} t_{1}}$.
Такой же объем должен занимать керосин при температуре $t_{3}$. Мы уже знаем, что объем керосина при $5^{ \circ} С$ равен $V_{1}$, а после нагревания до $t_{3}$ его объем будет $V_{3}$, т. е.
$\frac{V_{1}}{V_{3}} = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{3}}$,
Подставив значение $V_{3}$ из предыдущего расчета в полученное соотношение, получим
$\frac{V_{1}}{ \frac{V_{2} ( 1 + \beta_{1} t_{3})}{1 + \beta_{1} t_{1}}} = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{3}}$;
$\frac{V_{1}( 1 + \beta_{1} t_{1})}{ V_{2} (1 + \beta_{1} t_{3}) } = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{3}}$;
Откуда
$t_{3} = \frac{V_{1}( 1 + \beta_{1}t_{1}) - V_{2}( 1 + \beta t_{1})}{V_{2} \beta_{1} ( 1 + \beta t_{1}) - V_{1} \beta (1 + \beta_{1} t_{1})}$.
Подставим в это равенство численные значения и произведем вычисления
$t_{3} = 37,5^{ \circ} С$.
В железной цилиндрической цистерне высотой 5 м и диаметром 5 м содержится керосин. При температуре $5^{ \circ} С$ керосин не доходит до края на 15 см. Рассчитать, при какой температуре керосин начал бы переливаться через край цистерны. Расчет сделать для двух случаев: без учета расширения цистерны и с учетом расширения.
Решение:
1-й случай. Объем керосина в цистерне при $5^{ \circ} С$
$V_{1} = hS$,
где
$h = h_{1} - h_{2}, S = \frac{ \pi d^{2}}{4}$.
После подстановки этих выражений в уравнение получим
$V_{1} = (h_{1} - h_{1}) \frac{ \pi d^{2}}{4}$,
$V_{1} = \frac{4,85 м \cdot 3,14 \cdot 25 м^{2}}{4} = 95,18 м^{3}$.
Когда керосин при нагревании поднимется до края, его объем будет равен
$V_{2} = h_{1}S = h_{1} \frac{ \pi d^{2}}{4}$,
$V_{2} = \frac{5 м \cdot 3,14 \cdot 25 м^{2}}{4} = 98,12 м^{3}$.
Объемы $V_{1}$ и $V_{2}$ связаны соотношением
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{2}}$,
откуда
$t_{2} = \frac{V_{2} (1 + \beta t_{1}) - V_{1}}{V_{1} \beta}$.
После подстановки в это равенство значений и вычислений получим
$t_{2} = \frac{98,12 м^{2} (1 + 0,001 град^{-1} \cdot 5 град) — 95,18 м^{3}} { 95,18 м^{3} \cdot 0,001 град^{-1}} \approx 36^{ \circ} С$.
2-й случай. При $5^{ \circ} С$ объем цистерны будет $V_{2}$, а после нагревания до $t_{3}$ ее объем будет $V_{3}$, причем
$\frac{V_{2}}{V_{3}} = \frac{1 + \beta_{1} t_{1}}{1 + \beta_{1} t_{3}}$,
где $\beta_{1}$ — коэффициент объемного расширения железа. Откуда
$V_{3} = \frac{V_{2} ( 1 + \beta_{1} t_{3})}{1 + \beta_{1} t_{1}}$.
Такой же объем должен занимать керосин при температуре $t_{3}$. Мы уже знаем, что объем керосина при $5^{ \circ} С$ равен $V_{1}$, а после нагревания до $t_{3}$ его объем будет $V_{3}$, т. е.
$\frac{V_{1}}{V_{3}} = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{3}}$,
Подставив значение $V_{3}$ из предыдущего расчета в полученное соотношение, получим
$\frac{V_{1}}{ \frac{V_{2} ( 1 + \beta_{1} t_{3})}{1 + \beta_{1} t_{1}}} = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{3}}$;
$\frac{V_{1}( 1 + \beta_{1} t_{1})}{ V_{2} (1 + \beta_{1} t_{3}) } = \frac{1 + \beta t_{1}}{1 + \beta t_{3}}$;
Откуда
$t_{3} = \frac{V_{1}( 1 + \beta_{1}t_{1}) - V_{2}( 1 + \beta t_{1})}{V_{2} \beta_{1} ( 1 + \beta t_{1}) - V_{1} \beta (1 + \beta_{1} t_{1})}$.
Подставим в это равенство численные значения и произведем вычисления
$t_{3} = 37,5^{ \circ} С$.
