ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-10-29   
В калориметре находятся два слоя воды: внизу — более холодная, сверху — более теплая. Изменится ли общий объем воды при выравнивании температур?


Решение:


Обозначим через $t$ установившуюся общую температуру, через $m_{1}, V_{1}, t_{1}$ — соответственно массу, объем и температуру более холодной воды, через $V_{1}^{ \prime}$ — объем при температуре $t$, через $m_{2}, V_{2}, t_{2}$ — соответственно массу, объем и температуру более теплой воды, через $V_{2}^{ \prime}$ — объем, который она примет при температуре $t$. Уравнение теплового баланса следующее:

$cm_{2} (t_{2} - t) = cm_{1} (t - t_{1})$

(теплоемкость с можно сократить).
С другой стороны, изменение объемов с температурой выразится так:

$V_{1} = \frac{m_{1}}{ \rho_{1}} = \frac{m_{1}(1 + \beta t_{1})}{ \rho_{0}}$,

где $\rho_{1}$ — плотность воды при температуре $t_{1}$; $\rho_{0}$ — ее плотность при $0^{ \circ} С$; $\beta$ — коэффициент объемного расширения (считаем его постоянным). Аналогично:

$V_{1}^{ \prime} = \frac{m_{1}( 1 + \beta t)}{ \rho_{0}}$;
$V_{2} = \frac{m_{2}( 1 + \beta t_{2})}{ \rho_{0}}$;
$V_{2}^{ \prime} = \frac{m_{2}( 1 + \beta t)}{ \rho_{0}}$.

Отсюда найдем изменения объемов:

$V_{2} - V_{2}^{ \prime} = \frac{m_{2} \beta (t_{2} - t)}{ \rho_{0}}$;
$V_{1}^{ \prime} - V_{1} = \frac{m_{1} \beta (t - t_{1})}{ \rho_{0}}$.

Подставляя $m_{2}(t_{2} - t) = m_{1} (t - t_{1})$ в предыдущие две формулы, получаем

$V_{2} - V_{2}^{ \prime} = V_{1}^{ \prime} - V_{1}$

или

$V_{2} + V_{1} = V_{2}^{ \prime} + V_{1}^{ \prime}$,

т. е. общий объем жидкости не изменится.