ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-10-29   
Мерная колба при температуре $20^{ \circ} С$ вмещает 339 г ртути, а при температуре $100^{ \circ} С$ — 335 г. Определить коэффициент объемного расширения материала сосуда.


Решение:


Определим плотность ртути при температуре $t_{1}$ и $t_{2}$:

$\rho_{1} = \frac{ \rho_{0}}{1 + \beta_{1}t_{1}}; \rho_{2} = \frac{ \rho_{0}}{1 + \beta_{1}t_{2}}$,

где $\rho_{0}$ — плотность ртути при $0^{ \circ} С$; $\beta_{1}$ — коэффициент объемного расширения ртути.

Объем сосуда при температуре $t_{1}$ равен

$V_{1} = \frac{m_{1}}{ \rho_{1}} = \frac{m_{1}(1 + \beta_{1} t_{1})}{ \rho_{0}}$,

при температуре $t_{2}$

$V_{2} = \frac{m_{2}}{ \rho_{2}} = \frac{m_{2}(1 + \beta_{1}t_{2})}{ \rho_{0}}$.

Объем сосуда при температуре $0^{ \circ} С$, с одной стороны,

$V_{0} = \frac{V_{1}}{1 + \beta_{2}t_{1}} = \frac{1 + \beta_{1} t_{1}}{ \rho_{0} (1 + \beta_{2} t_{1})}$,

а с другой,

$V_{0} = \frac{V_{2}}{1 + \beta_{2}t_{2}} = \frac{m_{2}( 1 + \beta_{1} t_{2})}{ \rho_{0} ( 1 + \beta_{2} t_{2})}$.

Приравнивая правые части, получим

$\frac{m_{1}( 1 + \beta_{1} t_{1})}{ \rho_{0} ( 1 + \beta_{2} t_{1})} = \frac{m_{2}( 1 + \beta_{1} t_{2})}{ \rho_{0} ( 1 + \beta_{2} t_{2})}$,

откуда после решения относительно $\beta_{2}$

$\beta_{2} = \frac{m_{1} - m_{2} + \beta_{1}(m_{1}t_{1} - m_{2} t_{2} )}{m_{2}t_{1} - m_{1}t_{2} + \beta_{1} (m_{2} - m_{1}) t_{1} t_{2}}$.

Так как $\beta_{1} = 1,8 \cdot 10^{-4} град^{-1}$, то после подстановки всех остальных величин получим

$\beta_{2} = 2,9 \cdot 10^{-5} град^{-1}$.