ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-10-29   
Железный маятник при температуре $30^{ \circ} С$ имеет период колебания 1 сек. При какой температуре период колебаний маятника уменьшится на $\frac{1}{10000} сек$?


Решение:


Периоды маятников при температуре $t_{1}$ и $t_{2}$ соответственно равны

$T_{1} = 2 \pi \sqrt{ \frac{l_{1}}{g}}$ и $T_{2} = T_{1} \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) = 2 \pi \sqrt{ \frac{l_{2}}{g}}$,

где $l_{1}$ и $l_{2}$ — длины маятника соответственно при температурах $t_{1}$ и $t_{2}$.
Тогда

$\frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{n - 1}{n} = \sqrt{ \frac{l_{2}}{l_{1}}}$

или

$\frac{(n - 1)^{2}}{n^{2}} = \frac{l_{2}}{l_{1}}$.

Но

$\frac{l_{2}}{l_{1}} = \frac{l_{0} ( 1 + \alpha t_{2})}{1 + \alpha t_{1}} = 1 + \alpha (t_{2} - t_{1})$.

Поэтому можно написать, что

$\frac{(n - 1)^{2}}{n^{2}} = 1 + \alpha (t_{2} - t_{1})$.

Из последнего уравнения следует, что

$t_{2} = \frac{( n - 1)^{2}}{n^{2} \alpha} + t_{1} - \frac{1}{ \alpha}$.

После подстановки численных значений

$t_{2} = \frac{(10 000 - 1)^{1}}{ 10^{8} \cdot 1,2 \cdot 10^{-5} град^{-1}} + 30 град - \frac{1}{1,2 \cdot 10^{-5} град^{-1}} \approx 20^{ \circ} С$.