Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4615
2017-10-29 
Биметаллическая пластинка состоит из стальной и алюминиевой полосок толщиной 0,2 мм каждая. Температура $20^{ \circ} С$. Какой радиус кривизны будет иметь пластинка при $100^{ \circ} С$? Коэффициент линейного расширения алюминия $2,4 \cdot 10^{-5}$, а стали $1,1 \cdot 10^{-5} град^{-1}$.
Решение:
Средний радиус кривизны пластинки обозначим через $r$, а толщину каждого слоя через $d$. Среднюю длину алюминиевого слоя обозначим через СВ, а стального — через DE (рис.).
Тогда:
$\beta \left ( r + \frac{d}{2} \right ) = CB$;
$\beta \left ( r - \frac{d}{2} \right ) = DE$.
Если первоначальную длину пластинок обозначим через $l_{0}$, то:
$CB = l_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t)$;
$DE = l_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$,
где $\alpha_{1}$ — коэффициент линейного расширения алюминия; $\alpha_{2}$ — коэффициент линейного расширения стали.
Разность длин дуг СВ и DE составляет
$\Delta l = CB - DE = \beta r + \beta \frac{d}{2} - \beta r + \beta \frac{d}{2} = \beta d$
или
$\Delta l = l_{0} + l_{0} \alpha_{1} \Delta t - l_{0} - l_{0} \alpha_{2} \Delta t = l_{0} ( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t$,
откуда
$l_{0}( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t = \beta d$.
Из первого уравнения
$\beta = \frac{CB}{r + \frac{d}{2}}$.
Подставляя сюда значение СВ, получим
$\beta = \frac{l_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t)}{r + \frac{d}{2}}$.
Полученное значение подставим в уравнение $l_{0} ( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t = \beta d$:
$l_{0} ( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t = \frac{l_{0} (1 + \alpha_{1} \Delta t)}{r + \frac{d}{2}} d$.
После решения данного уравнения найдем
$r = \frac{2 + ( \alpha_{1} + \alpha_{2} \Delta t)}{2( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t} d$.
Подставляя численные значения, получим
$r = \frac{2 + (2,4 \cdot 10^{-5} град^{-1} + 1,1 \cdot 10^{-5} град^{-1}) 80 град}{2 (2,4 \cdot 10^{-5} град^{-1} - 1,1 \cdot 10^{-5} град^{-1}) 80 град} \cdot 2 \cdot 10^{-4} м = 0,192 м$.
Биметаллическая пластинка состоит из стальной и алюминиевой полосок толщиной 0,2 мм каждая. Температура $20^{ \circ} С$. Какой радиус кривизны будет иметь пластинка при $100^{ \circ} С$? Коэффициент линейного расширения алюминия $2,4 \cdot 10^{-5}$, а стали $1,1 \cdot 10^{-5} град^{-1}$.
Решение:
Средний радиус кривизны пластинки обозначим через $r$, а толщину каждого слоя через $d$. Среднюю длину алюминиевого слоя обозначим через СВ, а стального — через DE (рис.).
Тогда:
$\beta \left ( r + \frac{d}{2} \right ) = CB$;
$\beta \left ( r - \frac{d}{2} \right ) = DE$.
Если первоначальную длину пластинок обозначим через $l_{0}$, то:
$CB = l_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t)$;
$DE = l_{0}(1 + \alpha_{2} \Delta t)$,
где $\alpha_{1}$ — коэффициент линейного расширения алюминия; $\alpha_{2}$ — коэффициент линейного расширения стали.
Разность длин дуг СВ и DE составляет
$\Delta l = CB - DE = \beta r + \beta \frac{d}{2} - \beta r + \beta \frac{d}{2} = \beta d$
или
$\Delta l = l_{0} + l_{0} \alpha_{1} \Delta t - l_{0} - l_{0} \alpha_{2} \Delta t = l_{0} ( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t$,
откуда
$l_{0}( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t = \beta d$.
Из первого уравнения
$\beta = \frac{CB}{r + \frac{d}{2}}$.
Подставляя сюда значение СВ, получим
$\beta = \frac{l_{0}(1 + \alpha_{1} \Delta t)}{r + \frac{d}{2}}$.
Полученное значение подставим в уравнение $l_{0} ( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t = \beta d$:
$l_{0} ( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t = \frac{l_{0} (1 + \alpha_{1} \Delta t)}{r + \frac{d}{2}} d$.
После решения данного уравнения найдем
$r = \frac{2 + ( \alpha_{1} + \alpha_{2} \Delta t)}{2( \alpha_{1} - \alpha_{2}) \Delta t} d$.
Подставляя численные значения, получим
$r = \frac{2 + (2,4 \cdot 10^{-5} град^{-1} + 1,1 \cdot 10^{-5} град^{-1}) 80 град}{2 (2,4 \cdot 10^{-5} град^{-1} - 1,1 \cdot 10^{-5} град^{-1}) 80 град} \cdot 2 \cdot 10^{-4} м = 0,192 м$.
