ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-10-29   
Колесо паровоза имеет радиус 1 м при $0^{ \circ} С$. Определить разницу в числах оборотов колеса летом при температуре $25^{ \circ} С$ и зимой при температуре $- 25^{ \circ} С$ на пути пробега паровоза, равном 100 км ($\alpha = 1,2 \cdot 10^{-5} град^{-1}$).


Решение:


При изменении температуры меняются и все линейные размеры колеса. При температурах $t_{1}$ и $t_{2}$ радиус колеса соответственно равен:

$r_{1} = r_{0} (1 + \alpha t_{1}); r_{2} = r_{0} (1 + \alpha t_{2})$.

Длина окружности колеса определяется формулами:

$2 \pi r_{1} = 2 \pi r_{0} (1 + \alpha t_{1})$;
$2 \pi r_{2} = 2 \pi r_{0} (1 + \alpha t_{2})$;

В соответствии с этим число оборотов $n_{1}$ и $n_{2}$, которые совершит колесо паровоза на пути $s$, может быть подсчитано по формулам:

$n_{1} = \frac{s}{2 \pi r_{1}} = \frac{s}{2 \pi r_{0}(1 + \alpha t_{1})}$;
$n_{2} = \frac{s}{2 \pi r_{2}} = \frac{s}{2 \pi r_{0}(1 + \alpha t_{2})}$.

Разность этих двух величин и дает искомый результат

$\Delta n = \frac{s}{2 \pi r_{0}} \left ( \frac{1}{1 + \alpha t_{2}} - \frac{1}{1 + \alpha t_{1}} \right )$,
$\Delta n = \frac{ \alpha s (t_{1} - t_{1})}{2 \pi r_{0} (1 + \alpha_{1} t)(1 + \alpha t_{2})} \approx \frac{as(t_{1} - t_{2})}{2 \pi r_{0} [1 + \alpha (t_{1} + t_{2})]}$,
$\Delta n \approx 9,6 оборота$.