ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-10-29   
Две линейки — медная и железная — наложены одна на другую так, что они совпадают только с одной стороны. Определить длины линеек при $0^{ \circ} С$, зная, что разность их длин при любой температуре составляет 10 см. Коэффициент линейного расширения меди $17 \cdot 10^{-6}$, а железа $12 \cdot 10^{-6} град^{-1}$.


Решение:



Обозначим длины медной и железной линеек соответственно через $l_{1t}$ и $l_{2t}$ (рис.). Длины медной и железной линеек при любых температурах будут равны:

$l_{1t} = l_{01} (1 + \alpha_{1} t )$;
$l_{2t} = l_{02} (1 + \alpha_{2} t )$.

По условию задачи

$l_{2t} - l_{1t} = l_{02} - l_{01} = \Delta l$,

откуда

$\frac{l_{01}}{l_{02}} = \frac{ \alpha_{2}}{ \alpha_{1}}$.

Начальные длины линеек должны быть обратно пропорциональны коэффициентам линейного расширения.
Решая систему уравнений

$\frac{l_{01}}{l_{02}} = \frac{ \alpha_{2}}{ \alpha_{1}}; l_{02} - l_{01} = \Delta l$,

находим, что

$l_{01} = \frac{ \Delta l \cdot \alpha_{2}}{ \alpha_{1} - \alpha_{2}}; l_{02} = \frac{ \Delta l \cdot \alpha_{1}}{ \alpha_{1} - \alpha_{2}}$.

После подстановки численных значений получим

$l_{01} = \frac{0,1 м \cdot 12 \cdot 10^{-6} град^{-1}}{5 \cdot 10^{-6} град^{-1}} = 0,24 м$;
$l_{02} = \frac{0,1 м \cdot 17 \cdot 10^{-6} град^{-1}}{5 \cdot 10^{-6} град^{-1}} = 0,34 м$;