Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4603
2017-10-29 
Вывести формулу поправки, которую надо вносить при взвешивании в воздухе на рычажных весах тела плотностью $\rho$ с помощью гирь плотностью $\rho_{1}$, если плотность воздуха $\rho_{0}$.
Решение:
Обозначим все величины, относящиеся к гирям, индексом 1. Тогда вес гирь в воздухе будет равен
$P_{1}^{ \prime} = P_{1} - \Delta P_{1}$,
где $P_{1}$ — вес гирь, отнесенный к вакууму; $\Delta P_{1}$ — потеря в весе в воздухе:
$P_{1} = m_{1}g = \rho_{1}V_{1}g$;
$\Delta P_{1} = m_{0}^{ \prime} g = \rho_{0} V_{1}g$,
где $V_{1}$ — объем, занимаемый гирями.
Вес тела в воздухе равен
$P^{ \prime} = P - \Delta P$,
$\Delta P = m_{0}g = \rho_{0}Vg$,
$P = mg = \rho Vg$,
где $V$ — объем, занимаемый взвешиваемым телом.
При равновесии весов $P^{ \prime} = P_{1}^{ \prime}$:
$P_{1}^{ \prime} = \rho_{1}V_{1}g - \rho_{0} V_{1}g = V_{1}g ( \rho_{1} - \rho_{0}) = V_{1}g \rho_{1} ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}}) = P_{1} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}} \right )$;
$P^{ \prime} = \rho Vg - \rho_{0} Vg = Vg ( \rho - \rho_{0}) = Vg \rho ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho}) = P \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$;
Приравнивая правые части для $P^{ \prime}$ и $P_{1}^{ \prime}$, получаем
$P_{1} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}} \right ) = P \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$,
откуда
$P = P_{1} \frac{1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}}}{ 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho}}$.
Замечая, что обычно $\rho_{1}$ и $\rho \gg \rho_{0}$, и пользуясь формулами приближенного умножения и деления, перепишем предыдущую формулу в виде
$P = P_{1} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}} + \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$
или
$P = P_{1} \left [ 1 - \rho_{0} \left ( \frac{ 1}{ \rho_{1}} - \frac{1}{ \rho} \right ) \right ]$
При взвешивании тел с относительно большим весом приведенной выше поправкой можно пренебречь, так как выражение, стоящее в скобках, будет мало отличаться от единицы.
Вывести формулу поправки, которую надо вносить при взвешивании в воздухе на рычажных весах тела плотностью $\rho$ с помощью гирь плотностью $\rho_{1}$, если плотность воздуха $\rho_{0}$.
Решение:
Обозначим все величины, относящиеся к гирям, индексом 1. Тогда вес гирь в воздухе будет равен
$P_{1}^{ \prime} = P_{1} - \Delta P_{1}$,
где $P_{1}$ — вес гирь, отнесенный к вакууму; $\Delta P_{1}$ — потеря в весе в воздухе:
$P_{1} = m_{1}g = \rho_{1}V_{1}g$;
$\Delta P_{1} = m_{0}^{ \prime} g = \rho_{0} V_{1}g$,
где $V_{1}$ — объем, занимаемый гирями.
Вес тела в воздухе равен
$P^{ \prime} = P - \Delta P$,
$\Delta P = m_{0}g = \rho_{0}Vg$,
$P = mg = \rho Vg$,
где $V$ — объем, занимаемый взвешиваемым телом.
При равновесии весов $P^{ \prime} = P_{1}^{ \prime}$:
$P_{1}^{ \prime} = \rho_{1}V_{1}g - \rho_{0} V_{1}g = V_{1}g ( \rho_{1} - \rho_{0}) = V_{1}g \rho_{1} ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}}) = P_{1} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}} \right )$;
$P^{ \prime} = \rho Vg - \rho_{0} Vg = Vg ( \rho - \rho_{0}) = Vg \rho ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho}) = P \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$;
Приравнивая правые части для $P^{ \prime}$ и $P_{1}^{ \prime}$, получаем
$P_{1} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}} \right ) = P \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$,
откуда
$P = P_{1} \frac{1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}}}{ 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho}}$.
Замечая, что обычно $\rho_{1}$ и $\rho \gg \rho_{0}$, и пользуясь формулами приближенного умножения и деления, перепишем предыдущую формулу в виде
$P = P_{1} \left ( 1 - \frac{ \rho_{0}}{ \rho_{1}} + \frac{ \rho_{0}}{ \rho} \right )$
или
$P = P_{1} \left [ 1 - \rho_{0} \left ( \frac{ 1}{ \rho_{1}} - \frac{1}{ \rho} \right ) \right ]$
При взвешивании тел с относительно большим весом приведенной выше поправкой можно пренебречь, так как выражение, стоящее в скобках, будет мало отличаться от единицы.
