Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4593
2017-10-29 
На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества планеты $3000 кг/м^{3}$. Определить период обращения планеты около собственной оси.
Решение:
По условию задачи вес тела на экваторе планеты вдвое меньше, чем па полюсе. Это означает, что центростремительная сила, необходимая для удержания тела на экваторе, при вращении планеты вокруг своей оси составляет половину силы тяготения. Рассмотрим это подробнее.
По третьему закону Ньютона со стороны опоры на тело действует сила $P^{ \prime}$, равная и противоположная весу тела $P$.
Таким образом, к покоящимся на планете телам приложены две силы: сила тяготения $F_{тяг}$ и реакция опоры $P^{ \prime}$, численно равная $P$. Эти силы сообщают телу необходимое центростремительное ускорение при вращении планеты вокруг своей оси. На полюсе и на экваторе они направлены по одной линии (по вертикали).
По второму закону Ньютона
$\frac{mv^{2}}{R} = F_{тяг} - P^{ \prime}$.
где $v$ — скорость движения тела вокруг оси.
На полюсе $v = 0$ и $P_{0}^{ \prime} = F_{тяг}$.
Реакция опоры и, следовательно, вес тела на полюсе равен силе тяготения.
На экваторе
$v = \frac{2 \pi R}{T}$,
где $T$ — период обращения,
$P_{э}^{ \prime} = F_{тяг} - \frac{m4 \pi^{2}R}{T^{2}}$.
По условию
$P_{э} = 0,5P_{0}^{ \prime} = 0,5 F_{тяг}$,
откуда
$\frac{4 \pi^{2} mR}{T^{2}} = 0,5F_{тяг}$.
По закону всемирного тяготения
$F_{тяг} = \gamma \frac{mM}{R^{2}}$,
где $m$ — масса тела; $M$ — масса планеты; $R$ — радиус планеты, но $M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$, где $\rho$ — плотность планеты.
Подставляя в формулу $\frac{4 \pi^{2}mR}{T^{2}} = 0,5F_{тяг}$ выражения для $F_{тяг}$ и $M$, получаем
$\frac{4 \pi^{2} mR}{T^{2}} = 0,5 \gamma \frac{m \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho}{R^{2}}$.
После сокращения получим
$T = \sqrt{ \frac{6 \pi}{ \gamma \rho} }$.
Подставив численные значения, найдем
$T = \sqrt{ \frac{6 \cdot 3,14 \cdot 10^{11}}{3000 кг / v^{3} \cdot 6,67 м^{3} / кг \cdot сек^{2}}} = 9703 сек (2 ч 41,7 мин)$.
На экваторе некоторой планеты тела весят вдвое меньше, чем на полюсе. Плотность вещества планеты $3000 кг/м^{3}$. Определить период обращения планеты около собственной оси.
Решение:
По условию задачи вес тела на экваторе планеты вдвое меньше, чем па полюсе. Это означает, что центростремительная сила, необходимая для удержания тела на экваторе, при вращении планеты вокруг своей оси составляет половину силы тяготения. Рассмотрим это подробнее.
По третьему закону Ньютона со стороны опоры на тело действует сила $P^{ \prime}$, равная и противоположная весу тела $P$.
Таким образом, к покоящимся на планете телам приложены две силы: сила тяготения $F_{тяг}$ и реакция опоры $P^{ \prime}$, численно равная $P$. Эти силы сообщают телу необходимое центростремительное ускорение при вращении планеты вокруг своей оси. На полюсе и на экваторе они направлены по одной линии (по вертикали).
По второму закону Ньютона
$\frac{mv^{2}}{R} = F_{тяг} - P^{ \prime}$.
где $v$ — скорость движения тела вокруг оси.
На полюсе $v = 0$ и $P_{0}^{ \prime} = F_{тяг}$.
Реакция опоры и, следовательно, вес тела на полюсе равен силе тяготения.
На экваторе
$v = \frac{2 \pi R}{T}$,
где $T$ — период обращения,
$P_{э}^{ \prime} = F_{тяг} - \frac{m4 \pi^{2}R}{T^{2}}$.
По условию
$P_{э} = 0,5P_{0}^{ \prime} = 0,5 F_{тяг}$,
откуда
$\frac{4 \pi^{2} mR}{T^{2}} = 0,5F_{тяг}$.
По закону всемирного тяготения
$F_{тяг} = \gamma \frac{mM}{R^{2}}$,
где $m$ — масса тела; $M$ — масса планеты; $R$ — радиус планеты, но $M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$, где $\rho$ — плотность планеты.
Подставляя в формулу $\frac{4 \pi^{2}mR}{T^{2}} = 0,5F_{тяг}$ выражения для $F_{тяг}$ и $M$, получаем
$\frac{4 \pi^{2} mR}{T^{2}} = 0,5 \gamma \frac{m \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho}{R^{2}}$.
После сокращения получим
$T = \sqrt{ \frac{6 \pi}{ \gamma \rho} }$.
Подставив численные значения, найдем
$T = \sqrt{ \frac{6 \cdot 3,14 \cdot 10^{11}}{3000 кг / v^{3} \cdot 6,67 м^{3} / кг \cdot сек^{2}}} = 9703 сек (2 ч 41,7 мин)$.
