ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2017-10-29   
Два абсолютно упругих тела массами $m$ и $M$ подвешены на длинных нерастяжимых нитях. Тело массой $m$ отклонили на угол $\alpha$ и отпустили. Проанализировать, как будут изменяться в зависимости от отношения масс $k = \frac{m}{M}$ максимальные углы отклонения тел после удара.


Решение:



Обозначим длину нити через $l$. При отклонении на угол $\alpha$ (рис. а) тело $m$ будет находиться на высоте

$h = OC - OB = l - l \cos \alpha = l (1 - \cos \alpha)$.

Потенциальная энергия данного тела в положении А

$E_{п} = mgl(1 - \cos \alpha)$.

При своем движении в точке С тело имеет определенную скорость, которую легко подсчитать по закону сохранения энергии

$\frac{mv^{2}}{2} = mgl (1 - \cos \alpha)$

или

$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \alpha)}$.

После удара о тело $M$ первое тело отскочит и поднимется на высоту $h_{1}$, второе — на высоту $h_{2}$ (рис. б). Пусть углы отклонения будут соответственно $\beta$ и $\gamma$. До удара количество движения первого тела равнялось $mv$, второго — нулю. Пусть $u_{1}$ и $u_{2}$ — скорости движения тел после удара, тогда по закону сохранения количества движения получим

$mu_{1} + Mu_{2} = mv$,

а по закону сохранения энергии

$\frac{mu_{1}^{2}}{2} + \frac{Mu_{2}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2}$.

Составим систему уравнений

$mv = mu_{1} + Mu_{2}$;
$mv^{2} = mu_{1}^{2} + Mu_{2}^{2}$

и найдем значения $u_{1}$ и $u_{2}$:

$\begin{cases} m(v - u_{1}) = Mu_{2}; \\ m(v^{2} - u_{1}^{2}) = Mu_{2}^{2}, \end{cases}$.
$\begin{cases} m(v - u_{1}) = Mu_{2}; \\ m(v - u_{1})(v + u_{1}) = Mu_{2}^{2}, \end{cases}$.

Разделив второе уравнение на первое, получим

$u_{2} = u_{1} + v$.

Подставляя данное значение в уравнение $mu_{1} + Mu_{2} = mv$, получим

$mv = mu_{1} + Mv + Mu_{1}$,
$mv - Mv = mu_{1} + Mu_{1}$,

откуда

$u_{1} = \left ( \frac{m - M}{m + M} \right ) v = \frac{1 - k}{1 + k}v$,

где

$k = \frac{m}{M}$.

Аналогичным образом найдем $u_{2}$:

$u_{2} = \frac{2v}{1 + k}$.

Таким образом, тело т поднимется на высоту $h_{1}$:

$h_{1} = \frac{u_{1}^{2}}{2g} = \frac{ \left ( \frac{1 - k}{1 + k} v \right )^{2} }{2g} = \left ( \frac{1 - k}{1 + k} \right )^{2} l (1 - \cos \alpha)$.

Точно так же

$h_{2} = \frac{u_{2}^{2}}{2g} = \frac{4v^{2}}{(1 + k)^{2} 2g} = \frac{4l(1 - \cos \alpha)}{(1 + k)^{2}}$.

Из треугольника BOm

$\cos \beta = \frac{l - h_{1}}{l} = \frac{l - \left ( \frac{1- k}{1 + k} \right )^{2} l (1 - \cos \alpha)}{l} = 1 - \left ( \frac{1 - k}{1 + k} \right )^{2} (1 - \cos \alpha)$.

Аналогично

$\cos \gamma = 1 - \frac{4(1 - \cos \alpha)}{(1 + k )^{2}}$.

Рассмотрим несколько случаев.
1. Пусть $k \rightarrow \infty$. Это возможно, когда $m \rightarrow 0$ или $M \rightarrow \infty$. Тогда

$\cos \beta = \cos \alpha, \cos \gamma = 1$

или

$\beta = \alpha, \alpha = 0$,

т. е. второе тело остается неподвижным, а первое отскакивает от него на первоначальный угол.

2. $k = 1$ или $M = m$. В этом случае

$\cos \beta = 1; \beta =0$;
$\cos \gamma = \cos \alpha; \gamma = \alpha$,

t. e. после удара первое тело полностью останавливается, а второе приходит в движение. Тела обмениваются движениями.

3. $k \rightarrow 0$. Тогда

$\cos \beta = 1 - (1 - \cos \alpha) = \cos \alpha; \beta = \alpha$;
$\cos \gamma = 1 - 4(1 - \cos \alpha) = 4 \cos \alpha - 3$.