Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 459
2014-06-01 
Конькобежец на ледяной дорожке старается пройти вираж как можно ближе к внутренней бровке. Велосипедист же на велотреке проходит вираж возможно дальше от внутренней бровки. Как объяснить это различие в движении конькобежца и велосипедиста на вираже? Профиль трека изображен на рисунке.
Решение:
Конькобежцу сообщает центростремительное ускорение сила трения о лед
$\bar{F}_{тр}= \mu \bar{N}$,
где $\bar{N}$ - сила нормальной реакции льда (рис. а). Так как конькобежец не перемещается в вертикальном направлении, то сила $\bar{N}$ равна по модулю действующей на конькобежца силе тяжести $M \bar{g}$. Поэтому
$F_{тр}=\mu mg$ и $\frac{mv^{2}}{R}=\mu mg$.
Отсюда
$v=\sqrt{\mu gR}$.
Делая поворот, конькобежец проходит расстояние
$S= \pi R$
за время
$t=\frac{s}{v}=\pi \sqrt{\frac{R}{\mu g}}$. (1)
Чем больше радиус окружности, по которой движется конькобежец, тем больше это время. Хотя с увеличением радиуса поворота растет максимальная скорость конькобежца, еще больше увеличивается проходимое им расстояние: в то время как скорость пропорциональна $\sqrt{R}$, пройденное расстояние пропорционально $R$.
Именно поэтому конькобежец и старается пройти поворот как можно ближе к внутренней бровке.
Теперь рассмотрим движение велосипедиста на наклонном треке. Ему центростремительное ускорение сообщает равнодействующая силы трении $\bar{F}_{тр}$ и силы $\bar{N}$ реакции опоры (рис. б). Спроектировав эти силы на ось X, получаем:
$F_{тр} \cos \alpha + N \sin \alpha = \frac{mv^{2}}{R}$. (2)
Так как в вертикальном направлении велосипедист не перемещается, то сумма проекций на ось Y всех сил, действующих на велосипедиста, равна нулю:
$N \cos \alpha – F_{тр} \sin \alpha – mg = 0$. (3)
Учитывая, что $F_{тр}= \mu N$ найдем из уравнений (2) и (3) максимальную скорость, с которой может двигаться велосипедист:
$v=\sqrt{gr \frac{\mu + tg \: \alpha}{1- \mu tg \: \alpha}}$
Эта скорость зависит не только от радиуса окружности, и от угла наклона трека к горизонту. При том профиле трека, который показан на рисунке б, угол наклона не меняется. Если $\alpha = \alpha_{0} = arctg \: (1/ \mu)$ то максимальная скорость движения велосипедиста принимает бесконечное значение. Это значит, что скорость велосипедиста может быть любой1\.
Время, необходимое велосипедисту для того, чтобы пройти поворот радиуса $R$, определяется так:
$t= \frac{\pi R}{v}= \pi \sqrt{\frac{R}{g} \frac{1- \mu tg \: \alpha}{\mu + tg \: \alpha}} = \pi \sqrt{\frac{R}{g} tg \: (\alpha_{0}-\alpha)}$.
Если велосипедист проходит поворот дальше от бровки, то меняется не только радиус поворота, но и угол $\alpha$ наклона трека к горизонту. Благодаря этому уменьшается время прохождения поворота.
Конькобежец на ледяной дорожке старается пройти вираж как можно ближе к внутренней бровке. Велосипедист же на велотреке проходит вираж возможно дальше от внутренней бровки. Как объяснить это различие в движении конькобежца и велосипедиста на вираже? Профиль трека изображен на рисунке.
Решение:
Конькобежцу сообщает центростремительное ускорение сила трения о лед
$\bar{F}_{тр}= \mu \bar{N}$,
где $\bar{N}$ - сила нормальной реакции льда (рис. а). Так как конькобежец не перемещается в вертикальном направлении, то сила $\bar{N}$ равна по модулю действующей на конькобежца силе тяжести $M \bar{g}$. Поэтому
$F_{тр}=\mu mg$ и $\frac{mv^{2}}{R}=\mu mg$.
Отсюда
$v=\sqrt{\mu gR}$.
Делая поворот, конькобежец проходит расстояние
$S= \pi R$
за время
$t=\frac{s}{v}=\pi \sqrt{\frac{R}{\mu g}}$. (1)
Чем больше радиус окружности, по которой движется конькобежец, тем больше это время. Хотя с увеличением радиуса поворота растет максимальная скорость конькобежца, еще больше увеличивается проходимое им расстояние: в то время как скорость пропорциональна $\sqrt{R}$, пройденное расстояние пропорционально $R$.
Именно поэтому конькобежец и старается пройти поворот как можно ближе к внутренней бровке.
Теперь рассмотрим движение велосипедиста на наклонном треке. Ему центростремительное ускорение сообщает равнодействующая силы трении $\bar{F}_{тр}$ и силы $\bar{N}$ реакции опоры (рис. б). Спроектировав эти силы на ось X, получаем:
$F_{тр} \cos \alpha + N \sin \alpha = \frac{mv^{2}}{R}$. (2)
Так как в вертикальном направлении велосипедист не перемещается, то сумма проекций на ось Y всех сил, действующих на велосипедиста, равна нулю:
$N \cos \alpha – F_{тр} \sin \alpha – mg = 0$. (3)
Учитывая, что $F_{тр}= \mu N$ найдем из уравнений (2) и (3) максимальную скорость, с которой может двигаться велосипедист:
$v=\sqrt{gr \frac{\mu + tg \: \alpha}{1- \mu tg \: \alpha}}$
Эта скорость зависит не только от радиуса окружности, и от угла наклона трека к горизонту. При том профиле трека, который показан на рисунке б, угол наклона не меняется. Если $\alpha = \alpha_{0} = arctg \: (1/ \mu)$ то максимальная скорость движения велосипедиста принимает бесконечное значение. Это значит, что скорость велосипедиста может быть любой1\.
Время, необходимое велосипедисту для того, чтобы пройти поворот радиуса $R$, определяется так:
$t= \frac{\pi R}{v}= \pi \sqrt{\frac{R}{g} \frac{1- \mu tg \: \alpha}{\mu + tg \: \alpha}} = \pi \sqrt{\frac{R}{g} tg \: (\alpha_{0}-\alpha)}$.
Если велосипедист проходит поворот дальше от бровки, то меняется не только радиус поворота, но и угол $\alpha$ наклона трека к горизонту. Благодаря этому уменьшается время прохождения поворота.
