Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4570
2017-10-27 
Воронка с углом растворения $120^{ \circ}$ вращается вокруг вертикальной оси со скоростью 2 об/сек. В каком месте на внутренней стороне воронки должно находится тело, чтобы оно было в равновесии?
Решение:
Пусть тело в положении равновесия находится на расстоянии $r$ от оси вращения. В процессе вращения на тело действуют центробежная сила $F$ и сила тяжести $P$. Обе силы разлагаются на составляющие (рис.). При отсутствии трения тело находится в равновесии, когда скатывающая сила $P_{1}$ равна составляющей $F_{1}$ центробежной силы $F$. Центробежная сила
$F = m \omega^{2}r = 4 \pi^{2} mn^{2}r = 4 \pi^{2} mn^{2} l \sin \alpha$,
так как $r = l \sin \alpha$.
Из рис. видно, что
$P_{1} = P \cos \alpha$;
$F_{1} = F \sin \alpha$.
Тогда $P \cos \alpha = F \sin \alpha$ или
$mg \cos \alpha = 4 \pi^{2} mn^{2} l \sin^{2} \alpha$,
откуда
$l = \frac{g \cos \alpha}{4 \pi^{2} n^{2} \sin^{2} \alpha}$.
Подставляя численные значения, получим
$l = \frac{9,8 м/сек^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4 \cdot 3,14^{2} \cdot 4 сек^{-2} \cdot 3} = 0,04 м = 4 см$.
Положение будет неустойчивым, если $P_{1} > F_{1}$, тело скатывается вниз, вследствие чего равновесие еще больше нарушается, и не возвращается в свое первоначальное положение. При $F_{1} > P_{1}$ тело будет выброшено из воронки.
С учетом коэффициента трения условие равновесия запишется в следующем виде:
$P_{1} - F_{1} \leq F_{тр}$;
$F_{1} - P_{1} \leq F_{тр}$.
Сила трения равна
$F_{тр} = k(4 \pi^{2} mn^{2} l \sin \alpha \cos \alpha + mg \sin \alpha) = km \sin \alpha (4 \pi^{2}n^{2} l \cos \alpha + g)$.
Подставляя известные значения в неравенства
$P_{1} - F_{1} \leq F_{тр}; F_{1} - P_{1} \leq F_{тр}$.
найдем:
$mg \cos \alpha - 4 \pi^{2} mn^{2} l \sin^{2} \alpha \leq km \sin \alpha (4 \pi^{2} n^{2} l \cos \alpha + g)$;
$4 \pi^{2} mn^{2} l \sin^{2} \alpha - mg \cos \alpha \leq km \sin \alpha (4 \pi^{2} n^{2} l \cos \alpha + g)$,
откуда
$\frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{ctg \alpha - k}{ \sin \alpha + k \cos \alpha} \leq l \leq \frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{k + ctg \alpha}{ \sin \alpha - k \cos \alpha}$.
Следовательно,
$l_{min} = \frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{ctg \alpha - k}{ \sin \alpha + k \cos \alpha}$;
$l_{max} = \frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{ctg \alpha + k}{ \sin \alpha - k \cos \alpha}$;
Тело находится в равновесии внутри воронки на расстоянии от $l_{min}$ до $l_{max}$.
Воронка с углом растворения $120^{ \circ}$ вращается вокруг вертикальной оси со скоростью 2 об/сек. В каком месте на внутренней стороне воронки должно находится тело, чтобы оно было в равновесии?
Решение:
Пусть тело в положении равновесия находится на расстоянии $r$ от оси вращения. В процессе вращения на тело действуют центробежная сила $F$ и сила тяжести $P$. Обе силы разлагаются на составляющие (рис.). При отсутствии трения тело находится в равновесии, когда скатывающая сила $P_{1}$ равна составляющей $F_{1}$ центробежной силы $F$. Центробежная сила
$F = m \omega^{2}r = 4 \pi^{2} mn^{2}r = 4 \pi^{2} mn^{2} l \sin \alpha$,
так как $r = l \sin \alpha$.
Из рис. видно, что
$P_{1} = P \cos \alpha$;
$F_{1} = F \sin \alpha$.
Тогда $P \cos \alpha = F \sin \alpha$ или
$mg \cos \alpha = 4 \pi^{2} mn^{2} l \sin^{2} \alpha$,
откуда
$l = \frac{g \cos \alpha}{4 \pi^{2} n^{2} \sin^{2} \alpha}$.
Подставляя численные значения, получим
$l = \frac{9,8 м/сек^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4 \cdot 3,14^{2} \cdot 4 сек^{-2} \cdot 3} = 0,04 м = 4 см$.
Положение будет неустойчивым, если $P_{1} > F_{1}$, тело скатывается вниз, вследствие чего равновесие еще больше нарушается, и не возвращается в свое первоначальное положение. При $F_{1} > P_{1}$ тело будет выброшено из воронки.
С учетом коэффициента трения условие равновесия запишется в следующем виде:
$P_{1} - F_{1} \leq F_{тр}$;
$F_{1} - P_{1} \leq F_{тр}$.
Сила трения равна
$F_{тр} = k(4 \pi^{2} mn^{2} l \sin \alpha \cos \alpha + mg \sin \alpha) = km \sin \alpha (4 \pi^{2}n^{2} l \cos \alpha + g)$.
Подставляя известные значения в неравенства
$P_{1} - F_{1} \leq F_{тр}; F_{1} - P_{1} \leq F_{тр}$.
найдем:
$mg \cos \alpha - 4 \pi^{2} mn^{2} l \sin^{2} \alpha \leq km \sin \alpha (4 \pi^{2} n^{2} l \cos \alpha + g)$;
$4 \pi^{2} mn^{2} l \sin^{2} \alpha - mg \cos \alpha \leq km \sin \alpha (4 \pi^{2} n^{2} l \cos \alpha + g)$,
откуда
$\frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{ctg \alpha - k}{ \sin \alpha + k \cos \alpha} \leq l \leq \frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{k + ctg \alpha}{ \sin \alpha - k \cos \alpha}$.
Следовательно,
$l_{min} = \frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{ctg \alpha - k}{ \sin \alpha + k \cos \alpha}$;
$l_{max} = \frac{g}{4 \pi^{2} n^{2}} \frac{ctg \alpha + k}{ \sin \alpha - k \cos \alpha}$;
Тело находится в равновесии внутри воронки на расстоянии от $l_{min}$ до $l_{max}$.
