Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4569
2017-10-27 
На конце горизонтального стержня, вращающегося вокруг вертикальной оси, закреплена U-образная трубка в следующих двух положениях: 1) плоскость трубки проходит через ось вращения; 2) оба колена трубки находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения.
Каково положение уровней жидкости в обоих коленах трубки, если стержень вращается с числом оборотов $n$ в секунду?
Решение:
1. В первом случае можно заметить разность уровней жидкости в обоих коленах вращающейся трубки (рис.). Одновременно наступает изменение мениска в трубке (мениск — свободная поверхность жидкости в трубке). Обращает на себя внимание, что мениск в одном колене трубки становится продолжением мениска в другом колене. Разность уровней в трубке растет с увеличением угловой скорости или числа оборотов. Она обусловлена действием центробежной силы па жидкость, находящуюся в горизонтальной части трубки. В результате действия этой силы жидкость расположится так, как показано на рис. а.
При отсутствии вращения мениск уровня жидкости в сосуде всегда перпендикулярен к направлению действия силы тяжести $P$. В нашем случае, кроме силы тяжести $P$, действует еще центробежная сила $F$. Вследствие этого уровень жидкости расположится перпендикулярно к равнодействующей сил $P$ и $F$, т. е. под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Наклон мениска создает разность уровней в обоих коленах трубки. В положении (2) дополнительная сила $F$ одинакова в обоих коленах, отсюда и одинаковый наклон мениска. В положении (1) дополнительная сила $F$ растет с удалением от оси вращения. Вследствие этого, если бы цилиндрический сосуд вращался вокруг оси $OO^{ \prime}$, то мениск установился бы по параболе, показанной пунктирной линией (рис. а). Подсчитаем разность уровней жидкости в обоих коленах трубки. Как известно, центростремительное ускорение можно выразить следующим образом:
$a = 4 \pi^{2} n^{2} r$,
где $n$ — число оборотов в секунду; $r$ — расстояние от оси вращения.
Так как ускорение зависит от оси вращения, то для расчета силы, действующей на жидкость, расположенную в вертикальной части трубки, следовало бы столбик жидкости разбить на участки, подсчитать силу, действующую на каждый такой участок, а затем просуммировать все отдельные силы. Мы упростим решение, взяв среднее значение силы.
Наименьшее и наибольшее ускорения соответственно равны:
$a_{min} = 4 \pi^{2} n^{2} R$ и $a_{max} = 4 \pi^{2} n^{2} (R + l)$.
Среднее ускорение
$a_{ср} = \frac{1}{2} (a_{max} + a_{min}) = 2 \pi^{2} n^{2} (2R + l) Sl \rho$.
На жидкость действует центробежная сила
$F = ma_{ср} = 2 \pi^{2} n^{2} (2R + l) S l \rho$,
где $l$ — длина; $S$ — поперечное сечение горизонтальной части трубки; $\rho$ — плотность жидкости.
Центробежная сила уравновешена силой гидростатического давления, возникающей за счет разности уровней жидкости в обоих коленах трубки:
$p_{1} = (H - h) \rho gS$.
Тогда
$p_{1} = F$ или $(H - h) \rho gS = 2 \pi^{2} n^{2} (2R + l) S l \rho$,
откуда
$\Delta h = H - h = \frac{2 \pi^{2} n^{2}l}{g} (2R + l)$.
Оказывается, разность уровней в большой степени зависит от числа оборотов и длины горизонтальной части трубки и значительно слабее — от расстояния до оси вращения.
Если расстояние внешнего колена от оси вращения обозначим через $R_{1}$, т. е. $R_{1} = R + l$, то формулу можно несколько упростить:
$\Delta h = H - h = \frac{2 \pi^{2}}{g} n^{2} (R_{1}^{2} - P_{2}^{2})$.
2. Когда трубка вращается равномерно, уровень жидкости в обоих коленах одинаков. Если же трубка вращается с угловым ускорением $\epsilon$, то легко показать, что разность уровней выражается формулой
$\Delta h = \frac{ \epsilon lR}{g}$.
Формула справедлива, если $l \ll R$.
На конце горизонтального стержня, вращающегося вокруг вертикальной оси, закреплена U-образная трубка в следующих двух положениях: 1) плоскость трубки проходит через ось вращения; 2) оба колена трубки находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения.
Каково положение уровней жидкости в обоих коленах трубки, если стержень вращается с числом оборотов $n$ в секунду?
Решение:
1. В первом случае можно заметить разность уровней жидкости в обоих коленах вращающейся трубки (рис.). Одновременно наступает изменение мениска в трубке (мениск — свободная поверхность жидкости в трубке). Обращает на себя внимание, что мениск в одном колене трубки становится продолжением мениска в другом колене. Разность уровней в трубке растет с увеличением угловой скорости или числа оборотов. Она обусловлена действием центробежной силы па жидкость, находящуюся в горизонтальной части трубки. В результате действия этой силы жидкость расположится так, как показано на рис. а.
При отсутствии вращения мениск уровня жидкости в сосуде всегда перпендикулярен к направлению действия силы тяжести $P$. В нашем случае, кроме силы тяжести $P$, действует еще центробежная сила $F$. Вследствие этого уровень жидкости расположится перпендикулярно к равнодействующей сил $P$ и $F$, т. е. под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Наклон мениска создает разность уровней в обоих коленах трубки. В положении (2) дополнительная сила $F$ одинакова в обоих коленах, отсюда и одинаковый наклон мениска. В положении (1) дополнительная сила $F$ растет с удалением от оси вращения. Вследствие этого, если бы цилиндрический сосуд вращался вокруг оси $OO^{ \prime}$, то мениск установился бы по параболе, показанной пунктирной линией (рис. а). Подсчитаем разность уровней жидкости в обоих коленах трубки. Как известно, центростремительное ускорение можно выразить следующим образом:
$a = 4 \pi^{2} n^{2} r$,
где $n$ — число оборотов в секунду; $r$ — расстояние от оси вращения.
Так как ускорение зависит от оси вращения, то для расчета силы, действующей на жидкость, расположенную в вертикальной части трубки, следовало бы столбик жидкости разбить на участки, подсчитать силу, действующую на каждый такой участок, а затем просуммировать все отдельные силы. Мы упростим решение, взяв среднее значение силы.
Наименьшее и наибольшее ускорения соответственно равны:
$a_{min} = 4 \pi^{2} n^{2} R$ и $a_{max} = 4 \pi^{2} n^{2} (R + l)$.
Среднее ускорение
$a_{ср} = \frac{1}{2} (a_{max} + a_{min}) = 2 \pi^{2} n^{2} (2R + l) Sl \rho$.
На жидкость действует центробежная сила
$F = ma_{ср} = 2 \pi^{2} n^{2} (2R + l) S l \rho$,
где $l$ — длина; $S$ — поперечное сечение горизонтальной части трубки; $\rho$ — плотность жидкости.
Центробежная сила уравновешена силой гидростатического давления, возникающей за счет разности уровней жидкости в обоих коленах трубки:
$p_{1} = (H - h) \rho gS$.
Тогда
$p_{1} = F$ или $(H - h) \rho gS = 2 \pi^{2} n^{2} (2R + l) S l \rho$,
откуда
$\Delta h = H - h = \frac{2 \pi^{2} n^{2}l}{g} (2R + l)$.
Оказывается, разность уровней в большой степени зависит от числа оборотов и длины горизонтальной части трубки и значительно слабее — от расстояния до оси вращения.
Если расстояние внешнего колена от оси вращения обозначим через $R_{1}$, т. е. $R_{1} = R + l$, то формулу можно несколько упростить:
$\Delta h = H - h = \frac{2 \pi^{2}}{g} n^{2} (R_{1}^{2} - P_{2}^{2})$.
2. Когда трубка вращается равномерно, уровень жидкости в обоих коленах одинаков. Если же трубка вращается с угловым ускорением $\epsilon$, то легко показать, что разность уровней выражается формулой
$\Delta h = \frac{ \epsilon lR}{g}$.
Формула справедлива, если $l \ll R$.
