Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 454
2014-06-01 
На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой $m$ каждый. Кубики соединены пружинкой жесткости $k$. Длина пружинки в нерастянутом состоянии $l_{0}$ (рис.). На левый кубик внезапно начинает действовать сила $\bar{F}$, постоянная по модулю и направлению. Найдите минимальное и максимальное расстояние между кубиками при движении системы.
Решение:
Когда расстояние $l$ между кубиками минимально или максимально, оба кубика движутся с одинаковой скоростью $\bar{v}$ и кинетическая энергия системы равна $2 \frac{mv^{2}}{2} = mv^{2}$.
При этом потенциальная энергия системы равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. $\frac{kx^{2}}{2}$ (где изменение длины пружины считается положительным, если длина $l$ пружины меньше $l_{0}$, и отрицательным, если длина $l$ пружины больше $l_{0}$). Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии, т. е. $mv^{2}+\frac{kx^{2}}{2}$. Так как эту энергию система приобрела благодаря работе силы $\bar{F}$, то
$FL = mv^{2} + \frac{kx^{2}}{2}$, (1)
где $L$ - расстояние, которое прошел левый (по рисунку) кубик к тому моменту, когда длина пружины стала минимальной. Если $S$ - расстояние, пройденное центром масс системы (рис.), то
$L=S+\frac{1}{2}l_{0} - \frac{1}{2} (l_{0} - x) = S+ \frac{x}{2}$.
Скорость $\bar{v}$ кубиков равна скорости центра масс системы. Так как на систему действует постоянная внешняя сила, то центр масс движется равноускоренно с ускорением $a= \frac{F}{m}$. Поэтому, обозначив через $t$ время от момента начала движения до того момента, когда длина пружины стала равна $l_{0} –x$, можно записать:
$v=at, L = \frac{at^{2}}{2}+\frac{x}{2}$.
Подставляя эти выражения для $v$ и $L$ в уравнение (1), получим:
$F \left ( \frac{at^{2}}{2} +\frac{x}{2} \right ) = ma^{2}t^{2} + \frac{kx^{2}}{2} $.
Отсюда
$\frac{F^{2}t^{2}}{4m}+\frac{x}{2}F = \frac{F^{2}t^{2}}{4m} + \frac{kx^{2}}{2}$,
или
$Fx=kx^{2}$.
Следовательно, $x_{1}=0,x_{2}=\frac{F}{k}$.
Таким образом, минимальное расстояние между грузами равно
$l_{min} = l_{0} – x_ {2} = l_{0} - \frac{F}{k}$,
а максимальное -
$l_{max}=l_{0}-x_{1}=l_{0}$.
На гладком горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика массой $m$ каждый. Кубики соединены пружинкой жесткости $k$. Длина пружинки в нерастянутом состоянии $l_{0}$ (рис.). На левый кубик внезапно начинает действовать сила $\bar{F}$, постоянная по модулю и направлению. Найдите минимальное и максимальное расстояние между кубиками при движении системы.
Решение:
Когда расстояние $l$ между кубиками минимально или максимально, оба кубика движутся с одинаковой скоростью $\bar{v}$ и кинетическая энергия системы равна $2 \frac{mv^{2}}{2} = mv^{2}$.
При этом потенциальная энергия системы равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. $\frac{kx^{2}}{2}$ (где изменение длины пружины считается положительным, если длина $l$ пружины меньше $l_{0}$, и отрицательным, если длина $l$ пружины больше $l_{0}$). Полная энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии, т. е. $mv^{2}+\frac{kx^{2}}{2}$. Так как эту энергию система приобрела благодаря работе силы $\bar{F}$, то
$FL = mv^{2} + \frac{kx^{2}}{2}$, (1)
где $L$ - расстояние, которое прошел левый (по рисунку) кубик к тому моменту, когда длина пружины стала минимальной. Если $S$ - расстояние, пройденное центром масс системы (рис.), то
$L=S+\frac{1}{2}l_{0} - \frac{1}{2} (l_{0} - x) = S+ \frac{x}{2}$.
Скорость $\bar{v}$ кубиков равна скорости центра масс системы. Так как на систему действует постоянная внешняя сила, то центр масс движется равноускоренно с ускорением $a= \frac{F}{m}$. Поэтому, обозначив через $t$ время от момента начала движения до того момента, когда длина пружины стала равна $l_{0} –x$, можно записать:
$v=at, L = \frac{at^{2}}{2}+\frac{x}{2}$.
Подставляя эти выражения для $v$ и $L$ в уравнение (1), получим:
$F \left ( \frac{at^{2}}{2} +\frac{x}{2} \right ) = ma^{2}t^{2} + \frac{kx^{2}}{2} $.
Отсюда
$\frac{F^{2}t^{2}}{4m}+\frac{x}{2}F = \frac{F^{2}t^{2}}{4m} + \frac{kx^{2}}{2}$,
или
$Fx=kx^{2}$.
Следовательно, $x_{1}=0,x_{2}=\frac{F}{k}$.
Таким образом, минимальное расстояние между грузами равно
$l_{min} = l_{0} – x_ {2} = l_{0} - \frac{F}{k}$,
а максимальное -
$l_{max}=l_{0}-x_{1}=l_{0}$.
