Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4537
2017-10-24 
Оптическая система состоит из собирающей линзы Л с фокусным расстоянием $F$ и плоского зеркала 3, плоскость которого перпендикулярна главной оптической оси линзы. Между линзой и зеркалом находится стержень C, расположенный перпендикулярно главной оптической оси линзы. Расстояние от стержня до линзы равно $a$, причем $a > F$. Найти такое расстояние $x$ между линзой и зеркалом, при котором отношение размеров двух действительных изображений стержня равно $k (k > 1)$.
Решение:
Первое действительное изображение высотой $h$ формируется лучами, которые исходят непосредственно из стержня и преломляются линзой (см. рис.). Второе действительное изображение высотой $h_{1}$ образуется при преломлении линзой лучей, продолжения которых формируют мнимое изображение стержня в зеркале. Обозначим высоту стержня через $H$, расстояние между линзой и мнимым изображением стержня в зеркале через $a_{1}$, расстояния между действительными изображениями стержня и линзой через $b$ и $b_{1}$. Из рисунка видно, что:
$\frac{h}{H} = \frac{b}{a}$ и $\frac{h_{1}}{H} = \frac{b_{1}}{a_{1}}$,
причем $a_{1} = a + 2(x - a) = 2x - a$. Пусть $k = \frac{h}{h_{1}}$. В соответствии с формулой тонкой линзы,
$\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}}$.
Отсюда находим, что $\frac{a}{b} = \frac{a - F}{F}$ и $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{1} - F}{F}$. Следовательно,
$k = \frac{a_{1}b}{ab_{1}} = \frac{a_{1} - F}{a - F} = 2 \frac{x - F}{a - F} - 1$.
Переписывая последнее уравнение в виде $(k + 1)(a - F) = 2(x - F)$, получаем ответ:
$x = \frac{(k + 1 )a - (k - 1)F}{2}$.
Заметим, что, в силу условий $a > F$ и $k > 1$, величина $x$ положительна.
Оптическая система состоит из собирающей линзы Л с фокусным расстоянием $F$ и плоского зеркала 3, плоскость которого перпендикулярна главной оптической оси линзы. Между линзой и зеркалом находится стержень C, расположенный перпендикулярно главной оптической оси линзы. Расстояние от стержня до линзы равно $a$, причем $a > F$. Найти такое расстояние $x$ между линзой и зеркалом, при котором отношение размеров двух действительных изображений стержня равно $k (k > 1)$.
Решение:
Первое действительное изображение высотой $h$ формируется лучами, которые исходят непосредственно из стержня и преломляются линзой (см. рис.). Второе действительное изображение высотой $h_{1}$ образуется при преломлении линзой лучей, продолжения которых формируют мнимое изображение стержня в зеркале. Обозначим высоту стержня через $H$, расстояние между линзой и мнимым изображением стержня в зеркале через $a_{1}$, расстояния между действительными изображениями стержня и линзой через $b$ и $b_{1}$. Из рисунка видно, что:
$\frac{h}{H} = \frac{b}{a}$ и $\frac{h_{1}}{H} = \frac{b_{1}}{a_{1}}$,
причем $a_{1} = a + 2(x - a) = 2x - a$. Пусть $k = \frac{h}{h_{1}}$. В соответствии с формулой тонкой линзы,
$\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{b_{1}}$.
Отсюда находим, что $\frac{a}{b} = \frac{a - F}{F}$ и $\frac{a_{1}}{b_{1}} = \frac{a_{1} - F}{F}$. Следовательно,
$k = \frac{a_{1}b}{ab_{1}} = \frac{a_{1} - F}{a - F} = 2 \frac{x - F}{a - F} - 1$.
Переписывая последнее уравнение в виде $(k + 1)(a - F) = 2(x - F)$, получаем ответ:
$x = \frac{(k + 1 )a - (k - 1)F}{2}$.
Заметим, что, в силу условий $a > F$ и $k > 1$, величина $x$ положительна.
