Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4524
2017-10-24 
На горизонтально закрепленный стержень надеты два шарика, скрепленные между собой легкой пружиной. Если удерживать первый шарик, а второй отпустить после небольшой деформации пружины, то период его колебаний будет равен $T_{2}$. Если же удерживать второй шарик, а отпустить после небольшой деформации пружины первый, то период его колебаний будет равен $T_{1}$. Найти период колебаний шариков, если их одновременно отпустить после небольшой деформации пружины. Силами трения пренебречь.
Решение:
Пусть массы шариков $m_{1}$ и $m_{2}$, а жесткость пружины $k$. Частоты колебаний каждого из шариков при условии, что другой шарик закреплен, находятся по известной формуле для частоты колебаний груза на пружине:
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m_{1}}}, \omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m_{2}}}$.
Если после растяжения пружины отпустить шарики одновременно, то их колебания будут происходить так, что центр масс системы останется неподвижным. Обозначим через $x_{1}$ и $x_{2}$ модули смещений шариков от положения равновесия. Из определения центра масс следует равенство:
$m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$.
Отсюда находим, что растяжение пружины $\Delta l = x_{1} + x_{2}$ выражается через $x_{1}$ и $x_{2}$ как:
$\Delta l = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2}} x_{1} = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}} x_{2}$.
По закону Гука модуль силы упругости, возникающей при растяжении пружины, равен $F = k \Delta l$. Уравнения движения шариков имеют вид:
$m_{1} \ddot{x}_{1} = - k \Delta l, m_{2} \ddot{x}_{2} = - k \Delta l$,
или, с учетом записанных выше выражений для $\Delta l$,
$\ddot{x}_{1} + k \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}m_{2}} = 0, \ddot{x}_{2} + k \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}m_{2}}x_{2} = 0$.
Как и следовало ожидать, оба шарика совершают гармонические колебания на одной и той же частоте
$\omega = k \sqrt{ k \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}m_{2}}} = \sqrt{ \frac{k}{m_{1}} + \frac{k}{m_{2}}} = \sqrt{ \omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2}}$.
Учитывая, что частота колебаний связана с периодом $T$ соотношением $\omega = \frac{2 \pi}{T}$, получаем ответ: $T = \frac{T_{1}T_{2}}{ \sqrt{T_{1}^{2} + T_{2}^{2}}}$.
На горизонтально закрепленный стержень надеты два шарика, скрепленные между собой легкой пружиной. Если удерживать первый шарик, а второй отпустить после небольшой деформации пружины, то период его колебаний будет равен $T_{2}$. Если же удерживать второй шарик, а отпустить после небольшой деформации пружины первый, то период его колебаний будет равен $T_{1}$. Найти период колебаний шариков, если их одновременно отпустить после небольшой деформации пружины. Силами трения пренебречь.
Решение:
Пусть массы шариков $m_{1}$ и $m_{2}$, а жесткость пружины $k$. Частоты колебаний каждого из шариков при условии, что другой шарик закреплен, находятся по известной формуле для частоты колебаний груза на пружине:
$\omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m_{1}}}, \omega_{1} = \sqrt{ \frac{k}{m_{2}}}$.
Если после растяжения пружины отпустить шарики одновременно, то их колебания будут происходить так, что центр масс системы останется неподвижным. Обозначим через $x_{1}$ и $x_{2}$ модули смещений шариков от положения равновесия. Из определения центра масс следует равенство:
$m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$.
Отсюда находим, что растяжение пружины $\Delta l = x_{1} + x_{2}$ выражается через $x_{1}$ и $x_{2}$ как:
$\Delta l = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{2}} x_{1} = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}} x_{2}$.
По закону Гука модуль силы упругости, возникающей при растяжении пружины, равен $F = k \Delta l$. Уравнения движения шариков имеют вид:
$m_{1} \ddot{x}_{1} = - k \Delta l, m_{2} \ddot{x}_{2} = - k \Delta l$,
или, с учетом записанных выше выражений для $\Delta l$,
$\ddot{x}_{1} + k \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}m_{2}} = 0, \ddot{x}_{2} + k \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}m_{2}}x_{2} = 0$.
Как и следовало ожидать, оба шарика совершают гармонические колебания на одной и той же частоте
$\omega = k \sqrt{ k \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1}m_{2}}} = \sqrt{ \frac{k}{m_{1}} + \frac{k}{m_{2}}} = \sqrt{ \omega_{1}^{2} + \omega_{2}^{2}}$.
Учитывая, что частота колебаний связана с периодом $T$ соотношением $\omega = \frac{2 \pi}{T}$, получаем ответ: $T = \frac{T_{1}T_{2}}{ \sqrt{T_{1}^{2} + T_{2}^{2}}}$.
