Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4521
2017-10-24 
К вертикальной стене одним концом с помощью шарнира прикреплен однородный тяжелый жесткий стержень, на другом конце которого подвешен груз (см. рис. ). Стержень удерживают в горизонтальном положении легкой жесткой проволокой, прикрепленной к нему на расстоянии $l = 30 см$ от шарнира. Другой конец проволоки закреплен на стене так, что проволока и стержень лежат в одной вертикальной плоскости. На каком расстоянии $h$ от шарнира проволока должна быть прикреплена к стене, чтобы ее абсолютное удлинение было минимальным? Трением в шарнире пренебречь.
Решение:
Пусть $M$ - масса груза, $m$ - масса стержня, $s$ - его длина. Стержень находится в равновесии под действием сил, показанных на рис., где $M \vec{g}$ и $m \vec{g}$ - силы тяжести, $\vec{T}$ - сила натяжения проволоки. В целях экономии места сила реакции шарнира на рисунке не изображена. Уравнение моментов, записанное относительно оси шарнира (точки O) имеет вид:
$Mgs + mg \frac{s}{2} = Th \sin \phi$, причем $\sin \phi = \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + h^{2}}}$.
Пусть $L_{0}$ - длина недеформированной проволоки, а $\Delta L$ - ее абсолютное удлинение под действием силы натяжения $T$. По закону Гука
$\frac{ \Delta L}{L_{0}} = \frac{T}{ES}$,
где $E$ - модуль Юнга, $S$ - площадь поперечного сечения проволоки. Поскольку проволока жесткая, ее длина в растянутом состоянии мало отличается от $L_{0}$. Поэтому можно приближенно положить $L_{0} \approx \sqrt{l^{2} + h^{2}}$. В итоге уравнение моментов и закон Гука принимают вид:
$\left ( M + \frac{m}{2} \right ) gs = Th \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + h^{2}}}, \frac{ \Delta L}{ \sqrt{l^{2} + h^{2}}} = \frac{T}{ES}$.
Исключая из этих равенств натяжение проволоки $T$, найдем ее абсолютное удлинение:
$\Delta L = \left ( h + \frac{l^{2}}{h} \right ) \frac{(M + (m/2))gs}{ESl}$.
Минимум этого выражения легко определить, приравнивая нулю производную
$\frac{d}{dh} \left ( h + \frac{l^{2}}{h} \right ) = 1 - \frac{l^{2}}{h^{2}} = 0$.
Отсюда находим ответ: $h = l = 30 см$.
К вертикальной стене одним концом с помощью шарнира прикреплен однородный тяжелый жесткий стержень, на другом конце которого подвешен груз (см. рис. ). Стержень удерживают в горизонтальном положении легкой жесткой проволокой, прикрепленной к нему на расстоянии $l = 30 см$ от шарнира. Другой конец проволоки закреплен на стене так, что проволока и стержень лежат в одной вертикальной плоскости. На каком расстоянии $h$ от шарнира проволока должна быть прикреплена к стене, чтобы ее абсолютное удлинение было минимальным? Трением в шарнире пренебречь.
Решение:
Пусть $M$ - масса груза, $m$ - масса стержня, $s$ - его длина. Стержень находится в равновесии под действием сил, показанных на рис., где $M \vec{g}$ и $m \vec{g}$ - силы тяжести, $\vec{T}$ - сила натяжения проволоки. В целях экономии места сила реакции шарнира на рисунке не изображена. Уравнение моментов, записанное относительно оси шарнира (точки O) имеет вид:
$Mgs + mg \frac{s}{2} = Th \sin \phi$, причем $\sin \phi = \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + h^{2}}}$.
Пусть $L_{0}$ - длина недеформированной проволоки, а $\Delta L$ - ее абсолютное удлинение под действием силы натяжения $T$. По закону Гука
$\frac{ \Delta L}{L_{0}} = \frac{T}{ES}$,
где $E$ - модуль Юнга, $S$ - площадь поперечного сечения проволоки. Поскольку проволока жесткая, ее длина в растянутом состоянии мало отличается от $L_{0}$. Поэтому можно приближенно положить $L_{0} \approx \sqrt{l^{2} + h^{2}}$. В итоге уравнение моментов и закон Гука принимают вид:
$\left ( M + \frac{m}{2} \right ) gs = Th \frac{l}{ \sqrt{l^{2} + h^{2}}}, \frac{ \Delta L}{ \sqrt{l^{2} + h^{2}}} = \frac{T}{ES}$.
Исключая из этих равенств натяжение проволоки $T$, найдем ее абсолютное удлинение:
$\Delta L = \left ( h + \frac{l^{2}}{h} \right ) \frac{(M + (m/2))gs}{ESl}$.
Минимум этого выражения легко определить, приравнивая нулю производную
$\frac{d}{dh} \left ( h + \frac{l^{2}}{h} \right ) = 1 - \frac{l^{2}}{h^{2}} = 0$.
Отсюда находим ответ: $h = l = 30 см$.
