2014-06-01
В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр $d$ и сопротивление $R$. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если модуль индукции $\bar{B}$ магнитного поля изменяется с высотой $H$ по закону $| \bar{B} | = B_{0} (1+ \alpha H)$.
Решение:
Так как после установления скорости кольца его кинетическая энергия не меняется, изменение потенциальной энергии должно быть равно тепловым потерям в кольце. Если установившаяся скорость кольца равна $v$, то ЭДС индукции, возбуждаемой в кольце при его движении, по модулю равна
$\mathcal{E}= \frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$.
Здесь $\Phi$ - магнитный поток, пронизывающий кольцо. Так как
$\Phi = \frac{\pi d^{2}}{4} B = \frac{\pi d^{2}}{4} B_{0} (1+ \alpha H)$,
то
$\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{\pi d^{2}}{4} B_{0} \frac{\Delta H \cdot \alpha}{\Delta t}$
Но
$\frac{\Delta H}{\Delta t} =v$.
Поэтому
$\mathcal{E} = \frac{\pi d^{2}}{4} B_{0} \alpha v$
и по кольцу идет ток
$I = \frac{\pi d^{2} B_{0} \alpha v}{4R}$.
Если масса кольца равна $m$ и за время $t$ оно опускается на высоту $h$, то по закону сохранения энергии
$mgh = I^{2}Rt$.
Так как $\frac{h}{t} = v$, то
$mgv = I^{2}R$,
или
$mgv= \frac{\pi^{2} d^{4} B^{2}_{0} \alpha^{2} v^{2}}{16R}$.
Отсюда
$v= \frac{16mgR}{ \pi^{2} d^{4} B^{2}_{0} \alpha^{2}}$.