Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4516
2017-10-24 
Два тонких жестких стержня длиной $L$ каждый вращаются в плоскости рис. вокруг неподвижных точек $O_{1}$ и $O_{2}$. Расстояние между этими точками равно $h$. Найти скорость движения точки С пересечения этих стержней вдоль первого стержня в тот момент, когда угол между стержнями равен $\alpha$, угол $CO_{1}O_{1}$ равен $\beta$, а скорости свободных концов стержней равны $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$.
Решение:
Обозначим расстояние $O_{1}C$ через $x$ (см. рис.). Тогда искомая скорость равна $v = \dot{x}$, где точка над буквой $x$ означает производную от $x$ по времени. Из $\Delta O_{1}CO_{2}$ по теореме синусов можно записать: $\frac{x}{ \sin \gamma} = \frac{h}{ \sin \alpha}$. Учитывая, что $\gamma = \pi - \alpha - \beta$, из этой формулы находим
$x = h \frac{ \sin ( \alpha + \beta}{ \sin \alpha}$.
При дифференцировании данного выражения по времени примем во внимание, что производная от частного двух функций, зависящих от времени (например $y(t)$ и $z(t)$), вычисляется по формуле:
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{y}{z} \right ) = \frac{ \dot{y}z - y \dot{z}}{z^{2}}$,
а производная от сложной функции $y(z(t))$ равна
$\frac{d}{dt} y(z) = \dot{y} (z) \dot{z}$; например, $\frac{d}{dt} \sin \alpha = \cos \alpha ]cdot \dot{ \alpha}$.
С учетом сказанного получаем:
$\dot{x} = h \frac{ \cos ( \alpha + \beta) \sin \alpha \cdot ( \dot{ \alpha} + \dot{ \beta}) - \sin ( \alpha + \beta ) \cos \alpha \cdot \dot{ \alpha} }{ \sin^{2} \alpha}$.
В нашем случае $\dot{ \beta} = - u_{1} /L , \dot{ \gamma} = - u_{2}/L$ и $\dot{ \alpha} = - ( \dot{ \beta} + \dot{ \gamma} ) = ( u_{1} + u_{2})/L$. Знак «минус» в первых двух выражениях отражает тот факт, что при указанных в условии направлениях скоростей $u_{1}$ и $u_{2}$ углы $\beta$ и $\gamma$ уменьшаются. Объединяя записанные выражения, находим ответ:
$v = h \frac{ u_{2} \cos ( \alpha + \beta) \sin \alpha - ( u_{1} + u_{2}) \sin ( \alpha + \beta) \cos \alpha }{L \sin^{2} \alpha}$.
Два тонких жестких стержня длиной $L$ каждый вращаются в плоскости рис. вокруг неподвижных точек $O_{1}$ и $O_{2}$. Расстояние между этими точками равно $h$. Найти скорость движения точки С пересечения этих стержней вдоль первого стержня в тот момент, когда угол между стержнями равен $\alpha$, угол $CO_{1}O_{1}$ равен $\beta$, а скорости свободных концов стержней равны $\vec{u}_{1}$ и $\vec{u}_{2}$.
Решение:
Обозначим расстояние $O_{1}C$ через $x$ (см. рис.). Тогда искомая скорость равна $v = \dot{x}$, где точка над буквой $x$ означает производную от $x$ по времени. Из $\Delta O_{1}CO_{2}$ по теореме синусов можно записать: $\frac{x}{ \sin \gamma} = \frac{h}{ \sin \alpha}$. Учитывая, что $\gamma = \pi - \alpha - \beta$, из этой формулы находим
$x = h \frac{ \sin ( \alpha + \beta}{ \sin \alpha}$.
При дифференцировании данного выражения по времени примем во внимание, что производная от частного двух функций, зависящих от времени (например $y(t)$ и $z(t)$), вычисляется по формуле:
$\frac{d}{dt} \left ( \frac{y}{z} \right ) = \frac{ \dot{y}z - y \dot{z}}{z^{2}}$,
а производная от сложной функции $y(z(t))$ равна
$\frac{d}{dt} y(z) = \dot{y} (z) \dot{z}$; например, $\frac{d}{dt} \sin \alpha = \cos \alpha ]cdot \dot{ \alpha}$.
С учетом сказанного получаем:
$\dot{x} = h \frac{ \cos ( \alpha + \beta) \sin \alpha \cdot ( \dot{ \alpha} + \dot{ \beta}) - \sin ( \alpha + \beta ) \cos \alpha \cdot \dot{ \alpha} }{ \sin^{2} \alpha}$.
В нашем случае $\dot{ \beta} = - u_{1} /L , \dot{ \gamma} = - u_{2}/L$ и $\dot{ \alpha} = - ( \dot{ \beta} + \dot{ \gamma} ) = ( u_{1} + u_{2})/L$. Знак «минус» в первых двух выражениях отражает тот факт, что при указанных в условии направлениях скоростей $u_{1}$ и $u_{2}$ углы $\beta$ и $\gamma$ уменьшаются. Объединяя записанные выражения, находим ответ:
$v = h \frac{ u_{2} \cos ( \alpha + \beta) \sin \alpha - ( u_{1} + u_{2}) \sin ( \alpha + \beta) \cos \alpha }{L \sin^{2} \alpha}$.
