Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4500
2017-10-24 
На гладком горизонтальном столе лежат одинаковые грузы малых размеров, расположенные в вершинах правильного $n$-угольника. Масса каждого груза равна $m$. Грузы соединены между собой одинаковыми легкими пружинами жесткостью $k$. Грузы смещают от положений равновесия на одинаковые расстояния так, как показано на рис.. После этого грузы одновременно отпускают. Определить период малых колебаний. Считать, что оси пружин остаются прямолинейными.
Решение:
Поскольку грузы смещают от положений равновесия на одинаковые расстояния, центр масс системы, совпадающий с центром $n$-угольника (точкой O) остается неподвижным. Пусть смещение каждого груза равно $x$. Из рис. видно, что удлинение любой из $n$ пружин составит при этом величину $\Delta x = 2x_{1}$, где $x_{1} = x \sin \frac{ \alpha}{2}$, а $\alpha = \frac{2 \pi}{n}$. По закону Гука сила упругости, возникающая при растяжении пружины, равна по модулю $F = k \Delta x$. На каждый груз действуют две такие силы, направленные под углом $2 \beta$ друг к другу, где $\beta = \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$. Их векторная сумма направлена к центру $n$-угольника и по модулю равна $2F \cos \beta = 2F \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) = 2F \sin \frac{ \alpha}{2}$. Объединяя записанные выражения, находим, что возвращающие силы, возникающие при смещении грузов на расстояние $x$, равны по модулю $\left ( 4k \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) x$. Поэтому уравнение движения каждого из грузов имеет вид:
$m \ddot{x} = - \left ( 4k \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) x$.
Следовательно, $\omega^{2} = \frac{4k}{m} \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$. Учитывая, что период колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$, получаем ответ: $T = \frac{ \pi}{ \sin ( \pi / n)} \sqrt{ \frac{m}{k}}$ .
На гладком горизонтальном столе лежат одинаковые грузы малых размеров, расположенные в вершинах правильного $n$-угольника. Масса каждого груза равна $m$. Грузы соединены между собой одинаковыми легкими пружинами жесткостью $k$. Грузы смещают от положений равновесия на одинаковые расстояния так, как показано на рис.. После этого грузы одновременно отпускают. Определить период малых колебаний. Считать, что оси пружин остаются прямолинейными.
Решение:
Поскольку грузы смещают от положений равновесия на одинаковые расстояния, центр масс системы, совпадающий с центром $n$-угольника (точкой O) остается неподвижным. Пусть смещение каждого груза равно $x$. Из рис. видно, что удлинение любой из $n$ пружин составит при этом величину $\Delta x = 2x_{1}$, где $x_{1} = x \sin \frac{ \alpha}{2}$, а $\alpha = \frac{2 \pi}{n}$. По закону Гука сила упругости, возникающая при растяжении пружины, равна по модулю $F = k \Delta x$. На каждый груз действуют две такие силы, направленные под углом $2 \beta$ друг к другу, где $\beta = \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2}$. Их векторная сумма направлена к центру $n$-угольника и по модулю равна $2F \cos \beta = 2F \cos \left ( \frac{ \pi}{2} - \frac{ \alpha}{2} \right ) = 2F \sin \frac{ \alpha}{2}$. Объединяя записанные выражения, находим, что возвращающие силы, возникающие при смещении грузов на расстояние $x$, равны по модулю $\left ( 4k \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) x$. Поэтому уравнение движения каждого из грузов имеет вид:
$m \ddot{x} = - \left ( 4k \sin^{2} \frac{ \alpha}{2} \right ) x$.
Следовательно, $\omega^{2} = \frac{4k}{m} \sin^{2} \frac{ \alpha}{2}$. Учитывая, что период колебаний $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$, получаем ответ: $T = \frac{ \pi}{ \sin ( \pi / n)} \sqrt{ \frac{m}{k}}$ .
