Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4498
2017-10-24 
Период колебаний математического маятника на экваторе сферической планеты в $n = 1,5$ раза больше, чем на ее полюсе. Найти период $\tau$ обращения планеты вокруг ее собственной оси, если плотность вещества планеты $\rho = 3 г/см^{3}$.
Решение:
Согласно формуле Гюйгенса, период колебаний математического маятника длиной $l$ равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$,
где $g$ - ускорение свободного падения в той области вблизи поверхности планеты, где расположен маятник. В частности, на полюсе ускорение свободного падения $g_{п}$ целиком определяется силой гравитационного притяжения тела к планете. По закону всемирного тяготения
$g_{п} = G \frac{M}{R^{2}}$,
где $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} м^{3}/(кг \cdot с^{2})$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса планеты, $R$ - ее радиус. Тело, находящееся на экваторе, движется относительно инерциальной системы, связанной с центром планеты, по окружности радиусом $R$. По второму закону Ньютона для тела массой $m$, покоящегося на экваторе, имеем:
$m \omega^{2} R = mg_{п} - N$,
где $\omega$ - угловая скорость вращения планеты, $N$ - модуль силы реакции опоры. Отсюда находим, что сила, с которой тело, находящееся на экваторе, давит на опору, $N = m(g_{п} - \omega^{2}R)$. Следовательно, предоставленное самому себе тело будет совершать на экваторе свободное падение с ускорением gэ = gIl - со2R . По условию период колебаний маятника на экваторе $T_{э}$ связан с периодом колебаний на полюсе $T_{п}$ соотношением: $T_{э} = nT_{п}$. Поэтому $g_{п} = n^{2} g_{э}$, откуда
$\omega = \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{g_{п}}{R} (n^{2} - 1)}$.
Учитывая, что масса планеты $M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$, а искомый период вращения планеты вокруг ее оси $\tau = \frac{2 \pi}{ \omega}$, после несложных преобразований находим ответ: $\tau = n \sqrt{ \frac{3 \pi}{G \rho (n^{2} - 1)}} \approx 2,5 часа$.
Период колебаний математического маятника на экваторе сферической планеты в $n = 1,5$ раза больше, чем на ее полюсе. Найти период $\tau$ обращения планеты вокруг ее собственной оси, если плотность вещества планеты $\rho = 3 г/см^{3}$.
Решение:
Согласно формуле Гюйгенса, период колебаний математического маятника длиной $l$ равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g}}$,
где $g$ - ускорение свободного падения в той области вблизи поверхности планеты, где расположен маятник. В частности, на полюсе ускорение свободного падения $g_{п}$ целиком определяется силой гравитационного притяжения тела к планете. По закону всемирного тяготения
$g_{п} = G \frac{M}{R^{2}}$,
где $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11} м^{3}/(кг \cdot с^{2})$ - гравитационная постоянная, $M$ - масса планеты, $R$ - ее радиус. Тело, находящееся на экваторе, движется относительно инерциальной системы, связанной с центром планеты, по окружности радиусом $R$. По второму закону Ньютона для тела массой $m$, покоящегося на экваторе, имеем:
$m \omega^{2} R = mg_{п} - N$,
где $\omega$ - угловая скорость вращения планеты, $N$ - модуль силы реакции опоры. Отсюда находим, что сила, с которой тело, находящееся на экваторе, давит на опору, $N = m(g_{п} - \omega^{2}R)$. Следовательно, предоставленное самому себе тело будет совершать на экваторе свободное падение с ускорением gэ = gIl - со2R . По условию период колебаний маятника на экваторе $T_{э}$ связан с периодом колебаний на полюсе $T_{п}$ соотношением: $T_{э} = nT_{п}$. Поэтому $g_{п} = n^{2} g_{э}$, откуда
$\omega = \frac{1}{n} \sqrt{ \frac{g_{п}}{R} (n^{2} - 1)}$.
Учитывая, что масса планеты $M = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$, а искомый период вращения планеты вокруг ее оси $\tau = \frac{2 \pi}{ \omega}$, после несложных преобразований находим ответ: $\tau = n \sqrt{ \frac{3 \pi}{G \rho (n^{2} - 1)}} \approx 2,5 часа$.
