Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4497
2017-10-24 
Две тонкие одинаковые доски верхними концами прикреплены к неподвижной горизонтальной оси О. Масса каждой доски равна $m$, а ее длина - $L$. Раздвинув доски, между ними поместили цилиндр массой $M$ радиусом $R$ так, чтобы точки касания цилиндра совпали с серединой досок (см. рис.). После того, как цилиндр отпустили, он остался неподвижным. Найти коэффициент трения между цилиндром и доской. Трением в оси и деформациями тел пренебречь.
Решение:
Цилиндр и доски находятся в равновесии под действием сил, модули и направления которых изображены на рис., где $Mg$ и $mg$ — модули сил тяжести, действующих на цилиндр и на каждую из досок, $N$ — модуль нормальной составляющей силы взаимодействия каждой из досок и цилиндра, $F_{тр}$ — модуль силы трения покоя между цилиндром и каждой из досок. Силы реакции оси, на которой подвешены доски, на рисунке не показаны. Для облегчения анализа рисунка в левой его части изображены силы, действующие только на цилиндр, а в правой - только на правую доску. Уравнение моментов сил, действующих на одну из досок, записанное относительно точки O, имеет вид:
$mg \frac{L}{2} \sin \alpha = N \frac{L}{2}$.
Цилиндр находится в равновесии при выполнении условия:
$Mg + 2N \sin \alpha = 2F_{тр} \cos \alpha$.
Из записанных уравнений находим, что
$N = mg \sin \alpha, F_{тр} = \frac{Mg + 2mg \sin^{2} \alpha}{2 \cos \alpha}$.
Сила трения покоя удовлетворяет неравенству: $F_{тр} \leq \mu N$. Следовательно, система будет находиться в равновесии при условии, что $\mu \geq \frac{F_{тр}}{N}$. Учитывая, что $\sin \alpha = \frac{R}{ \sqrt{R^{2} + (L/2)^{2}}}, \cos \alpha = \frac{L/2}{ \sqrt{R^{2} + (L/2)^{2}}}$, получаем ответ: $\mu \geq \frac{(L^{2} + 4R^{2})M}{4mRL} + \frac{2R}{L}$.
Две тонкие одинаковые доски верхними концами прикреплены к неподвижной горизонтальной оси О. Масса каждой доски равна $m$, а ее длина - $L$. Раздвинув доски, между ними поместили цилиндр массой $M$ радиусом $R$ так, чтобы точки касания цилиндра совпали с серединой досок (см. рис.). После того, как цилиндр отпустили, он остался неподвижным. Найти коэффициент трения между цилиндром и доской. Трением в оси и деформациями тел пренебречь.
Решение:
Цилиндр и доски находятся в равновесии под действием сил, модули и направления которых изображены на рис., где $Mg$ и $mg$ — модули сил тяжести, действующих на цилиндр и на каждую из досок, $N$ — модуль нормальной составляющей силы взаимодействия каждой из досок и цилиндра, $F_{тр}$ — модуль силы трения покоя между цилиндром и каждой из досок. Силы реакции оси, на которой подвешены доски, на рисунке не показаны. Для облегчения анализа рисунка в левой его части изображены силы, действующие только на цилиндр, а в правой - только на правую доску. Уравнение моментов сил, действующих на одну из досок, записанное относительно точки O, имеет вид:
$mg \frac{L}{2} \sin \alpha = N \frac{L}{2}$.
Цилиндр находится в равновесии при выполнении условия:
$Mg + 2N \sin \alpha = 2F_{тр} \cos \alpha$.
Из записанных уравнений находим, что
$N = mg \sin \alpha, F_{тр} = \frac{Mg + 2mg \sin^{2} \alpha}{2 \cos \alpha}$.
Сила трения покоя удовлетворяет неравенству: $F_{тр} \leq \mu N$. Следовательно, система будет находиться в равновесии при условии, что $\mu \geq \frac{F_{тр}}{N}$. Учитывая, что $\sin \alpha = \frac{R}{ \sqrt{R^{2} + (L/2)^{2}}}, \cos \alpha = \frac{L/2}{ \sqrt{R^{2} + (L/2)^{2}}}$, получаем ответ: $\mu \geq \frac{(L^{2} + 4R^{2})M}{4mRL} + \frac{2R}{L}$.
