Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4496
2017-10-24 
На прямой круговой конус, ось которого вертикальна, надели тонкое гладкое кольцо радиусом $R$ и массой $m$. Известно, что кольцо остается целым, если сила натяжения в нем не превышает $F$. Найти минимальное значение угла $\alpha$ между осью и образующей конуса, при котором кольцо не разорвется.
Решение:
Выделим малый элемент кольца массой $\Delta m = m \frac{ \Delta \phi}{2 \pi}$, где $\Delta \phi \ll 1$. Этот элемент находится в равновесии под действием сил, модули и направления которых изображены на рис., где $\Delta mg$ — модуль силы тяжести, $\Delta N$ — модуль силы реакции поверхности конуса, $F$ — модуль силы натяжения кольца. Векторная сумма сил натяжения, действующих на выделенный элемент со стороны соседних участков кольца, направлена к центру кольца и по модулю равна $\Delta F = 2F \sin \frac{ \Delta \phi}{2} \approx F \Delta \phi$. Условия равновесия элемента кольца имеют вид:
$\Delta mg = \Delta N \sin \alpha, F \Delta \phi = \Delta N \cos \alpha$.
Отсюда $tg \alpha = \frac{ \Delta mg}{F \Delta \phi} = \frac{mg}{2 \pi F}$. Полагая, что $F$ — максимально допустимое натяжение кольца, получаем ответ: $\alpha_{min} = arctg \frac{mg}{2 \pi F}$.
На прямой круговой конус, ось которого вертикальна, надели тонкое гладкое кольцо радиусом $R$ и массой $m$. Известно, что кольцо остается целым, если сила натяжения в нем не превышает $F$. Найти минимальное значение угла $\alpha$ между осью и образующей конуса, при котором кольцо не разорвется.
Решение:
Выделим малый элемент кольца массой $\Delta m = m \frac{ \Delta \phi}{2 \pi}$, где $\Delta \phi \ll 1$. Этот элемент находится в равновесии под действием сил, модули и направления которых изображены на рис., где $\Delta mg$ — модуль силы тяжести, $\Delta N$ — модуль силы реакции поверхности конуса, $F$ — модуль силы натяжения кольца. Векторная сумма сил натяжения, действующих на выделенный элемент со стороны соседних участков кольца, направлена к центру кольца и по модулю равна $\Delta F = 2F \sin \frac{ \Delta \phi}{2} \approx F \Delta \phi$. Условия равновесия элемента кольца имеют вид:
$\Delta mg = \Delta N \sin \alpha, F \Delta \phi = \Delta N \cos \alpha$.
Отсюда $tg \alpha = \frac{ \Delta mg}{F \Delta \phi} = \frac{mg}{2 \pi F}$. Полагая, что $F$ — максимально допустимое натяжение кольца, получаем ответ: $\alpha_{min} = arctg \frac{mg}{2 \pi F}$.
