Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4495
2017-10-24 
Математический маятник длиной $L$ подвешен на гвозде, вбитом в вертикальную стену. Груз маятника отклонили так, что его нить приняла горизонтальное положение, параллельное стене, и была слегка натянута, а затем груз отпустили с нулевой начальной скоростью. На каком наибольшем расстоянии $x$ под точкой подвеса следует вбить в стену второй гвоздь, чтобы после удара нити о него груз, двигаясь по окружности, поднялся на максимальную высоту?
Решение:
Рассмотрим движение груза после того, как нить, на которой он подвешен, зацепится за нижний гвоздь. В верхней точке окружности, по которой движется груз, на него действуют сила тяжести и сила натяжения нити (см. рис.). Обозначив через $mg$ и $T$ модули этих сил, по второму закону Ньютона имеем:
$\frac{mv^{2}}{R} = mg + T$,
где $v$ — скорость груза в верхней точке, $R$ — радиус окружности. Отсюда следует, что груз совершает на нити полный оборот по окружности, если $v^{2} \geq gR$. Обозначив через $v_{0}$ скорость груза в нижней точке, по закону ^ / сохранения механической энергии имеем: \
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + 2mgR$.
Отсюда $v_{0}^{2} = v^{2} + 4gR$. С учетом найденного выше условия для скорости груза в верхней точке находим, что $R \leq \frac{v_{0}^{2}}{5g}$. Таким образом, максимальное значение радиуса, при котором груз совершит полный оборот по окружности, равно
$R_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{5g}$.
Применяя для движения груза от исходного положения до нижней точки закон сохранения механической энергии, получаем, что $v_{0}^{2} = 2gL$. Следовательно, $R_{max} = \frac{2}{5} L$, и максимальная высота, на которую поднимется груз
$h_{max} = 2R_{max} = \frac{4}{5} L$.
Чтобы эта высота была достигнута, нужно вбить нижний гвоздь на расстоянии $x = x_{0} = L - R_{max} = \frac{3}{5}L$ от верхнего. Если вбить гвоздь ниже найденной точки (при этом $x > x_{0}$), то радиус окружности, по которой движется груз, будет меньше $R_{max}$, и груз достигнет в верхней точке окружности высоты, меньшей чем hmax. Если же вбить гвоздь выше найденной точки (при этом $x < x_{0}$), то натяжение нити обратится в нуль, т.е. нить провиснет, когда груз еще не достигнет верхней точки. В этом случае траектория груза кроме дуги окружности будет включать в себя отрезок параболы. Таким образом, ответ имеет вид: $x = 0,6 L$.
Математический маятник длиной $L$ подвешен на гвозде, вбитом в вертикальную стену. Груз маятника отклонили так, что его нить приняла горизонтальное положение, параллельное стене, и была слегка натянута, а затем груз отпустили с нулевой начальной скоростью. На каком наибольшем расстоянии $x$ под точкой подвеса следует вбить в стену второй гвоздь, чтобы после удара нити о него груз, двигаясь по окружности, поднялся на максимальную высоту?
Решение:
Рассмотрим движение груза после того, как нить, на которой он подвешен, зацепится за нижний гвоздь. В верхней точке окружности, по которой движется груз, на него действуют сила тяжести и сила натяжения нити (см. рис.). Обозначив через $mg$ и $T$ модули этих сил, по второму закону Ньютона имеем:
$\frac{mv^{2}}{R} = mg + T$,
где $v$ — скорость груза в верхней точке, $R$ — радиус окружности. Отсюда следует, что груз совершает на нити полный оборот по окружности, если $v^{2} \geq gR$. Обозначив через $v_{0}$ скорость груза в нижней точке, по закону ^ / сохранения механической энергии имеем: \
$\frac{mv_{0}^{2}}{2} = \frac{mv^{2}}{2} + 2mgR$.
Отсюда $v_{0}^{2} = v^{2} + 4gR$. С учетом найденного выше условия для скорости груза в верхней точке находим, что $R \leq \frac{v_{0}^{2}}{5g}$. Таким образом, максимальное значение радиуса, при котором груз совершит полный оборот по окружности, равно
$R_{max} = \frac{v_{0}^{2}}{5g}$.
Применяя для движения груза от исходного положения до нижней точки закон сохранения механической энергии, получаем, что $v_{0}^{2} = 2gL$. Следовательно, $R_{max} = \frac{2}{5} L$, и максимальная высота, на которую поднимется груз
$h_{max} = 2R_{max} = \frac{4}{5} L$.
Чтобы эта высота была достигнута, нужно вбить нижний гвоздь на расстоянии $x = x_{0} = L - R_{max} = \frac{3}{5}L$ от верхнего. Если вбить гвоздь ниже найденной точки (при этом $x > x_{0}$), то радиус окружности, по которой движется груз, будет меньше $R_{max}$, и груз достигнет в верхней точке окружности высоты, меньшей чем hmax. Если же вбить гвоздь выше найденной точки (при этом $x < x_{0}$), то натяжение нити обратится в нуль, т.е. нить провиснет, когда груз еще не достигнет верхней точки. В этом случае траектория груза кроме дуги окружности будет включать в себя отрезок параболы. Таким образом, ответ имеет вид: $x = 0,6 L$.
