Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4494
2017-10-24 
На гладкой горизонтальной плоскости располагается кубик с закрепленным на нем блоком. Масса кубика вместе с блоком равна $M$. Через блок перекинута гладкая невесомая нить, на которой висит груз массой $m$, касающийся вертикальной грани кубика. Коэффициент трения груза о кубик равен $\mu$. Первоначально кубик и груз удерживают. Затем к свободному концу нити прикладывают в горизонтальном направлении постоянную силу $\vec{F}$, как показано на рис., и одновременно отпускают кубик и груз. В результате они начинают двигаться поступательно, причем груз движется вверх. Найти перемещение кубика $\Delta x$ к тому моменту, когда сила $\vec{F}$ совершит работу $A$, а груз еще не коснется блока.
Решение:
Когда кубик и груз освободят, они придут в движение под действием сил, модули и направления которых ~ указаны на рис. Здесь $mg$ и $\mu N$ - модули силы тяжести и силы трения скольжения, действующих на груз, $N$ - модуль нормальной составляющей силы взаимодействия кубика и груза, $F$ - модуль силы натяжения нити, равный модулю заданной в условии силы, приложенной к свободному концу нити. Полагая, что система отсчета, связанная со столом, является инерциальной, запишем уравнения движения кубика и груза в проекциях на координатные оси Ox и Oy:
$Ma_{x} = F - N, ma_{x} = N, ma_{y} =F - mg - \mu N$,
где $a_{x}$ - модуль ускорения кубика, равный модулю горизонтальной составляющей ускорения груза, $a_{y}$ - модуль вертикальной составляющей ускорения груза. Из этих уравнений находим
$a_{x} = \frac{F}{M + m}, a_{y} = F \frac{M + (1 - \mu)m}{(M + m)m} - g$.
Пусть за время $\tau$ перемещение кубика составило $\Delta x$, а груз поднялся на высоту $\Delta y$. Поскольку движение этих тел начинается из состояния покоя, то $\Delta x = \frac{a_{x} \tau^{2}}{2}, \Delta y = \frac{a_{y} \tau^{2}}{2}$. Следовательно, $\frac{ \Delta x}{ \Delta y} = \frac{a_{x}}{a_{y}}$. Перемещение свободного конца нити относительно неподвижной системы отсчета при этом равно $\Delta x + \Delta y$. Работа, которую совершает сила $F$,
$A = F ( \Delta x + \Delta y )= F \Delta x \left ( 1 + \frac{a_{y}}{a_{x}} \right )$.
Объединяя записанные выражения, получаем ответ:
$\Delta x = \frac{A}{(2 - \mu + (M/m))F - (m +M)g} $.
Анализ этого выражения показывает, что оно теряет смысл при $F \leq F_{0} = \frac{(M +m)mg}{M + m(2 - \mu )}$. Таким образом, найденное решение существует, если $F > F_{0}$.
На гладкой горизонтальной плоскости располагается кубик с закрепленным на нем блоком. Масса кубика вместе с блоком равна $M$. Через блок перекинута гладкая невесомая нить, на которой висит груз массой $m$, касающийся вертикальной грани кубика. Коэффициент трения груза о кубик равен $\mu$. Первоначально кубик и груз удерживают. Затем к свободному концу нити прикладывают в горизонтальном направлении постоянную силу $\vec{F}$, как показано на рис., и одновременно отпускают кубик и груз. В результате они начинают двигаться поступательно, причем груз движется вверх. Найти перемещение кубика $\Delta x$ к тому моменту, когда сила $\vec{F}$ совершит работу $A$, а груз еще не коснется блока.
Решение:
Когда кубик и груз освободят, они придут в движение под действием сил, модули и направления которых ~ указаны на рис. Здесь $mg$ и $\mu N$ - модули силы тяжести и силы трения скольжения, действующих на груз, $N$ - модуль нормальной составляющей силы взаимодействия кубика и груза, $F$ - модуль силы натяжения нити, равный модулю заданной в условии силы, приложенной к свободному концу нити. Полагая, что система отсчета, связанная со столом, является инерциальной, запишем уравнения движения кубика и груза в проекциях на координатные оси Ox и Oy:
$Ma_{x} = F - N, ma_{x} = N, ma_{y} =F - mg - \mu N$,
где $a_{x}$ - модуль ускорения кубика, равный модулю горизонтальной составляющей ускорения груза, $a_{y}$ - модуль вертикальной составляющей ускорения груза. Из этих уравнений находим
$a_{x} = \frac{F}{M + m}, a_{y} = F \frac{M + (1 - \mu)m}{(M + m)m} - g$.
Пусть за время $\tau$ перемещение кубика составило $\Delta x$, а груз поднялся на высоту $\Delta y$. Поскольку движение этих тел начинается из состояния покоя, то $\Delta x = \frac{a_{x} \tau^{2}}{2}, \Delta y = \frac{a_{y} \tau^{2}}{2}$. Следовательно, $\frac{ \Delta x}{ \Delta y} = \frac{a_{x}}{a_{y}}$. Перемещение свободного конца нити относительно неподвижной системы отсчета при этом равно $\Delta x + \Delta y$. Работа, которую совершает сила $F$,
$A = F ( \Delta x + \Delta y )= F \Delta x \left ( 1 + \frac{a_{y}}{a_{x}} \right )$.
Объединяя записанные выражения, получаем ответ:
$\Delta x = \frac{A}{(2 - \mu + (M/m))F - (m +M)g} $.
Анализ этого выражения показывает, что оно теряет смысл при $F \leq F_{0} = \frac{(M +m)mg}{M + m(2 - \mu )}$. Таким образом, найденное решение существует, если $F > F_{0}$.
