Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4493
2017-10-24 
Наклонная поверхность неподвижного клина с углом $\alpha$ при основании имеет гладкую нижнюю и шероховатую верхнюю части. Коэффициент трения между стержнем и верхней частью клина равен $\mu$. На верхней части клина удерживают тонкий однородный стержень массой $m$, расположенный в плоскости рис.. После того, как стержень отпускают, он начинает поступательно скользить по клину. Найти максимальную силу натяжения стержня в процессе его движения. Влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Вычислим силу натяжения стержня в том его сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями наклонной поверхности клина. Пусть полная масса стержня равна $m$. Рассмотрим момент, когда на гладкой части клина окажется нижняя часть стержня массой $\beta m$, а на шероховатой части клина - верхняя часть стержня массой $(1 - \beta )m$, причем значения коэффициента $\beta$ лежат в диапазоне $0 \leq \beta \leq 1$. Уравнения движения нижней и верхней частей стержня имеют вид:
$\beta ma = \beta mg \sin \alpha - T $,
$(1 - \beta )ma = (1 - \beta )mg \sin \alpha + T - \mu (1 - \beta )mg \cos \alpha$,
где $a$ - ускорение стержня, $g$ - ускорение свободного падения, $T$ - сила взаимодействия нижней и верхней частей стержня (сила натяжения стержня) в рассматриваемый момент. Решая эту систему, находим
$T = \beta (1 - \beta ) \mu mg \cos \alpha$.
Видно, что сила натяжения стержня в сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями клина, зависит от значения коэффициента $\beta$. Очевидно, она будет максимальной при $\beta = 0,5$, т.е. когда одна половина стержня окажется на гладкой нижней части клина, а другая половина - на его шероховатой верхней части. Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно установить, что сила натяжения стержня будет линейно убывать с расстоянием от сечения стержня, совпадающего с границей между гладкой и шероховатой частями клина. Предлагаем самостоятельно убедиться в этом. Следовательно, $T_{max} = \frac{1}{4} \mu mg \cos \alpha$.
Наклонная поверхность неподвижного клина с углом $\alpha$ при основании имеет гладкую нижнюю и шероховатую верхнюю части. Коэффициент трения между стержнем и верхней частью клина равен $\mu$. На верхней части клина удерживают тонкий однородный стержень массой $m$, расположенный в плоскости рис.. После того, как стержень отпускают, он начинает поступательно скользить по клину. Найти максимальную силу натяжения стержня в процессе его движения. Влиянием воздуха пренебречь.
Решение:
Вычислим силу натяжения стержня в том его сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями наклонной поверхности клина. Пусть полная масса стержня равна $m$. Рассмотрим момент, когда на гладкой части клина окажется нижняя часть стержня массой $\beta m$, а на шероховатой части клина - верхняя часть стержня массой $(1 - \beta )m$, причем значения коэффициента $\beta$ лежат в диапазоне $0 \leq \beta \leq 1$. Уравнения движения нижней и верхней частей стержня имеют вид:
$\beta ma = \beta mg \sin \alpha - T $,
$(1 - \beta )ma = (1 - \beta )mg \sin \alpha + T - \mu (1 - \beta )mg \cos \alpha$,
где $a$ - ускорение стержня, $g$ - ускорение свободного падения, $T$ - сила взаимодействия нижней и верхней частей стержня (сила натяжения стержня) в рассматриваемый момент. Решая эту систему, находим
$T = \beta (1 - \beta ) \mu mg \cos \alpha$.
Видно, что сила натяжения стержня в сечении, которое находится на границе между гладкой и шероховатой частями клина, зависит от значения коэффициента $\beta$. Очевидно, она будет максимальной при $\beta = 0,5$, т.е. когда одна половина стержня окажется на гладкой нижней части клина, а другая половина - на его шероховатой верхней части. Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно установить, что сила натяжения стержня будет линейно убывать с расстоянием от сечения стержня, совпадающего с границей между гладкой и шероховатой частями клина. Предлагаем самостоятельно убедиться в этом. Следовательно, $T_{max} = \frac{1}{4} \mu mg \cos \alpha$.
