Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4462
2017-10-24 
Брусок массой $m$ удерживают на высоте $H$ над основанием наклонной плоскости, образующей с горизонталью угол $\alpha$. У основания наклонной плоскости находится выступ, в который упирается легкая пружина жесткостью $k$ и длиной $l$, расположенная вдоль наклонной плоскости (см. рис.). Брусок отпускают без начальной скорости, после чего он соскальзывает вниз и ударяется о пружину. Найти максимальное сжатие пружины $\Delta l$, если коэффициент трения между плоскостью и бруском $\mu$. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
В момент, когда достигается максимальное сжатие пружины, скорость бруска обращается в нуль. По закону изменения механической энергии имеем:
$mgH = mg(l - \Delta l) \sin \alpha + \frac{k \Delta l^{2}}{2} + A_{тр}$,
где $A_{тр}$ - модуль работы силы трения $F_{тр}$ на перемещении бруска $S$, причем $F_{тр} = \mu mg \cos \alpha , S = \left ( \frac{H}{ \sin \alpha} - (l - \Delta l) \right )$. Следовательно,
$A_{тр} = \mu mg \cos \alpha \left ( \frac{H}{ \sin \alpha} - (l - \Delta l) \right )$.
Объединяя записанные выражения, получаем квадратное уравнение относительно $\Delta l$:
$\Delta l^{2} - \frac{2mg}{k} ( s\in \alpha - \mu \cos \alpha) \Delta l - \frac{2mg}{k} ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) \left ( \frac{H}{ \sin \alpha} - l \right ) = 0$.
Поскольку по условию задачи предоставленный самому себе брусок приходит в движение, $\sin \alpha > \mu \cos \alpha$. Кроме того, $\frac{H}{ \sin \alpha} > l$. Поэтому свободный член в квадратном уравнении заведомо отрицателен, и, следовательно, корни этого уравнения существуют. Условию задачи удовлетворяет положительный корень. Ответ:
$\Delta l = \frac{mg}{k} ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) \left ( 1 + \sqrt{1 + \frac{2k}{mg \sin \alpha} \cdot \frac{(H - l \sin \alpha)}{( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)}} \right )$
Брусок массой $m$ удерживают на высоте $H$ над основанием наклонной плоскости, образующей с горизонталью угол $\alpha$. У основания наклонной плоскости находится выступ, в который упирается легкая пружина жесткостью $k$ и длиной $l$, расположенная вдоль наклонной плоскости (см. рис.). Брусок отпускают без начальной скорости, после чего он соскальзывает вниз и ударяется о пружину. Найти максимальное сжатие пружины $\Delta l$, если коэффициент трения между плоскостью и бруском $\mu$. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
В момент, когда достигается максимальное сжатие пружины, скорость бруска обращается в нуль. По закону изменения механической энергии имеем:
$mgH = mg(l - \Delta l) \sin \alpha + \frac{k \Delta l^{2}}{2} + A_{тр}$,
где $A_{тр}$ - модуль работы силы трения $F_{тр}$ на перемещении бруска $S$, причем $F_{тр} = \mu mg \cos \alpha , S = \left ( \frac{H}{ \sin \alpha} - (l - \Delta l) \right )$. Следовательно,
$A_{тр} = \mu mg \cos \alpha \left ( \frac{H}{ \sin \alpha} - (l - \Delta l) \right )$.
Объединяя записанные выражения, получаем квадратное уравнение относительно $\Delta l$:
$\Delta l^{2} - \frac{2mg}{k} ( s\in \alpha - \mu \cos \alpha) \Delta l - \frac{2mg}{k} ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) \left ( \frac{H}{ \sin \alpha} - l \right ) = 0$.
Поскольку по условию задачи предоставленный самому себе брусок приходит в движение, $\sin \alpha > \mu \cos \alpha$. Кроме того, $\frac{H}{ \sin \alpha} > l$. Поэтому свободный член в квадратном уравнении заведомо отрицателен, и, следовательно, корни этого уравнения существуют. Условию задачи удовлетворяет положительный корень. Ответ:
$\Delta l = \frac{mg}{k} ( \sin \alpha - \mu \cos \alpha) \left ( 1 + \sqrt{1 + \frac{2k}{mg \sin \alpha} \cdot \frac{(H - l \sin \alpha)}{( \sin \alpha - \mu \cos \alpha)}} \right )$
