Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4454
2017-10-21 
Фотоаппарат, имеющий объектив с фокусным расстоянием $F = 10 см$, установлен так, чтобы получить наиболее резкое изображение предмета, находящегося от него на расстоянии $a = 5 м$. Найти глубину резкости, т.е. расстояния, на которые можно сместить предмет вдоль оси объектива от указанного положения без потери резкости изображения, если радиус светового пучка, проходящего через объектив, не превышает $r = 1 см$, а изображение можно считать резким, если диаметр изображения точки на фотопленке не превышает $\phi = 0,1 мм$.
Решение:
По условию задачи при определенном расстоянии между объективом фотоаппарата и предметом изображение последнего получается наиболее резким. Это означает, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета, после преломления в объективе сходятся в одной точке, лежащей на поверхности фотопленки. Другими словами, при таком расположении предмет его изображение является стигматичным и, следовательно, можно говорить, что справедливы правила построения изображений в так называемом параксиальном приближении. Если, как обычно, считать объектив фотоаппарата тонкой линзой, то в указанном приближении расстояния от предмета до линзы $a$ и от линзы до предмета $b$ должны удовлетворять соотношению $a^{-1} + b^{-1} = F^{-1}$, называемому формулой тонкой линзы. На верхней половине рисунка показан ход луча, идущего под наибольшим углом к главной оптической оси объектива от точки предмета, но после его отодвигания на расстояние $\Delta x_{+}$ вдоль главной оптической оси от первоначального положения. Прн этом положение точки $b_{+}$, в которой этот луч пересекает главную оптическую ось линзы, было найдено с помощью формулы тонкой линзы. Из рисунка ясно, что при новом положении предмета все другие лучи, выходящие из указанной точки предмета, могут падать на фотопленку только в пределах кружка диаметром $\phi$.
Из подобия прямоугольных треугольников $OAb_{+}$ н $bCb_{+}$ следует, что $\phi /2r = (b - b_{+})/b_{+}$. Поскольку $\Delta х_{+} = a_{+} - a$, то, выразив расстояния $b$ и $b_{+}$ с помощью формулы тонкой линзы через заданное фокусное расстояние $F$, расстояние $a$ и смещение $\Delta x_{+}$, из двух последних уравнений получим:
$\Delta x_{+} = \frac{(a - F) a \phi}{(2r + \phi) F - a \phi} \approx 1,62 м$.
Проводя аналогичные рассуждения, можно доказать, что диаметр изображения точки предмета не будет превышать заданной величины $\phi$, если предмет приблизить к объективу на расстояние
$\Delta x_{-} = \frac{(a - F )a \phi}{(2r - \phi) F + a \phi} \approx 0,98 м$.
Фотоаппарат, имеющий объектив с фокусным расстоянием $F = 10 см$, установлен так, чтобы получить наиболее резкое изображение предмета, находящегося от него на расстоянии $a = 5 м$. Найти глубину резкости, т.е. расстояния, на которые можно сместить предмет вдоль оси объектива от указанного положения без потери резкости изображения, если радиус светового пучка, проходящего через объектив, не превышает $r = 1 см$, а изображение можно считать резким, если диаметр изображения точки на фотопленке не превышает $\phi = 0,1 мм$.
Решение:
По условию задачи при определенном расстоянии между объективом фотоаппарата и предметом изображение последнего получается наиболее резким. Это означает, что все лучи, исходящие из какой-либо точки предмета, после преломления в объективе сходятся в одной точке, лежащей на поверхности фотопленки. Другими словами, при таком расположении предмет его изображение является стигматичным и, следовательно, можно говорить, что справедливы правила построения изображений в так называемом параксиальном приближении. Если, как обычно, считать объектив фотоаппарата тонкой линзой, то в указанном приближении расстояния от предмета до линзы $a$ и от линзы до предмета $b$ должны удовлетворять соотношению $a^{-1} + b^{-1} = F^{-1}$, называемому формулой тонкой линзы. На верхней половине рисунка показан ход луча, идущего под наибольшим углом к главной оптической оси объектива от точки предмета, но после его отодвигания на расстояние $\Delta x_{+}$ вдоль главной оптической оси от первоначального положения. Прн этом положение точки $b_{+}$, в которой этот луч пересекает главную оптическую ось линзы, было найдено с помощью формулы тонкой линзы. Из рисунка ясно, что при новом положении предмета все другие лучи, выходящие из указанной точки предмета, могут падать на фотопленку только в пределах кружка диаметром $\phi$.
Из подобия прямоугольных треугольников $OAb_{+}$ н $bCb_{+}$ следует, что $\phi /2r = (b - b_{+})/b_{+}$. Поскольку $\Delta х_{+} = a_{+} - a$, то, выразив расстояния $b$ и $b_{+}$ с помощью формулы тонкой линзы через заданное фокусное расстояние $F$, расстояние $a$ и смещение $\Delta x_{+}$, из двух последних уравнений получим:
$\Delta x_{+} = \frac{(a - F) a \phi}{(2r + \phi) F - a \phi} \approx 1,62 м$.
Проводя аналогичные рассуждения, можно доказать, что диаметр изображения точки предмета не будет превышать заданной величины $\phi$, если предмет приблизить к объективу на расстояние
$\Delta x_{-} = \frac{(a - F )a \phi}{(2r - \phi) F + a \phi} \approx 0,98 м$.
