Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4452
2017-10-21 
С помощью тонкой линзы получили увеличенное в $k = 5$ раз изображение предмета, расположенного вблизи главной оптической оси. Если расстояние между линзой и предметом увеличить на $\Delta L = 1 см$, то увеличение уменьшится в $n = 2$ раза. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение:
Поскольку в условии задачи специально не оговаривается, какова геометрия предмета и как он располагается относительно линзы, будем решать задачу в предположении, что предмет является плоским и располагается параллельно главной плоскости линзы, причем размеры предмета столь малы, что можно использовать параксиальное приближение. Поскольку из условия задачи не ясно, о действительном или мнимом изображении идет речь, собирающая или рассеивающая линза использовалась в опыте, при ответе на вопрос задачи следует проанализировать все возможные ситуации.
На рисунке показано построение изображения в тонкой собирающей линзе точек А и В, находящихся на расстоянии $a$ от ее главной плоскости, большем фокусного расстояния линзы $F$. При построении изображений $А^{*}$ и $B^{*}$ было учтено, что луч-, идущий через оптический центр, не преломляется после прохождения линзы; луч, проходящий через главный фокус, выходит из линзы параллельно главной оптической оси, а параллельные лучи после преломления в линзе пересекаются в одной точке. Поскольку $\angle AOB = \angle CB^{*}O$ (как * углы, образуемые прямой с пересекаемыми ею параллельными прямыми), и $\angle BAO = \angle OCB^{*} = \pi/2$ по построению, то $\Delta AOB$ подобен $\Delta CB^{*}O$. Из подобия этих треугольников следует, что изображением отрезка, перпендикулярного главной оптической оси линзы, при выполнении сделанных выше предположений должен быть отрезок, перпендикулярный этой же оси,_Поэтому $OC = A^{*}B^{*}$, а коэффициент увеличения $k = A^{*}B^{*}/AB = OC/AB$. Учитывая, что прямоугольные треугольники $ABF$ и $FOC$ подобны, можно утверждать, что $k = F/(a - F)$. При увеличении расстояния а иа $\Delta L$ по условию задачи увеличение предмета должно уменьшиться в $n$ раз. Следовательно, должно выполняться соотношение: $k/n = F/(a + \Delta L - F)$. Исключая из этого соотношения неизвестное расстояние $a$, получим, что в рассматривавшемся случае должна была использоваться линза с фокусным расстоянием $F = k \Delta L / (n - 1) = 5 см$.
Увеличенное изображение можно получить, и располагая предмет на расстоянии $a$, меньшем фокусного расстояния $F$ собирающей линзы. Это подтверждает рисунок, на котором сделано построение изображения для подобной ситуации. Из этого рисунка можно сделать вывод, что в этом случае $k = F/(F - a)$, и при увеличении расстояния между линзой и предметом на величину $\Delta L$, если $a + \Delta L < F$, размер мнимого изображения будет увеличиваться, что противоречит условию задачи. Однако, если окажется, что $a + \Delta L > F$, то, требуя, чтобы в соответствии с условием задачи как и в предыдущем случае выполнялось соотношение $k/n = F/(a + \Delta L - F)$, получим, что при таком условии $F = k \Delta L/(n +1) = 5/3 см$.
Можно убедиться, что, используя рассеивающую линзу, получить увеличенное изображение действительного предмета невозможно. Таким образом, условия задачи могут быть выполнены только при использовании собирающей линзы, причем, если до и после увеличения расстояния между линзой и предметом его изображение было действительным, то фокусное расстояние линзы должно быть равно $F = k \Delta L/(n - 1) = 5 см$. Если же при первоначальном расположении изображение предмета было мнимым, а после отодвигания предмета стало действительным, то искомое фокусное расстояние должно быть равно $F = k \Delta L/(n + 1) = 5/3 см$.
С помощью тонкой линзы получили увеличенное в $k = 5$ раз изображение предмета, расположенного вблизи главной оптической оси. Если расстояние между линзой и предметом увеличить на $\Delta L = 1 см$, то увеличение уменьшится в $n = 2$ раза. Найти фокусное расстояние линзы.
Решение:
Поскольку в условии задачи специально не оговаривается, какова геометрия предмета и как он располагается относительно линзы, будем решать задачу в предположении, что предмет является плоским и располагается параллельно главной плоскости линзы, причем размеры предмета столь малы, что можно использовать параксиальное приближение. Поскольку из условия задачи не ясно, о действительном или мнимом изображении идет речь, собирающая или рассеивающая линза использовалась в опыте, при ответе на вопрос задачи следует проанализировать все возможные ситуации.
На рисунке показано построение изображения в тонкой собирающей линзе точек А и В, находящихся на расстоянии $a$ от ее главной плоскости, большем фокусного расстояния линзы $F$. При построении изображений $А^{*}$ и $B^{*}$ было учтено, что луч-, идущий через оптический центр, не преломляется после прохождения линзы; луч, проходящий через главный фокус, выходит из линзы параллельно главной оптической оси, а параллельные лучи после преломления в линзе пересекаются в одной точке. Поскольку $\angle AOB = \angle CB^{*}O$ (как * углы, образуемые прямой с пересекаемыми ею параллельными прямыми), и $\angle BAO = \angle OCB^{*} = \pi/2$ по построению, то $\Delta AOB$ подобен $\Delta CB^{*}O$. Из подобия этих треугольников следует, что изображением отрезка, перпендикулярного главной оптической оси линзы, при выполнении сделанных выше предположений должен быть отрезок, перпендикулярный этой же оси,_Поэтому $OC = A^{*}B^{*}$, а коэффициент увеличения $k = A^{*}B^{*}/AB = OC/AB$. Учитывая, что прямоугольные треугольники $ABF$ и $FOC$ подобны, можно утверждать, что $k = F/(a - F)$. При увеличении расстояния а иа $\Delta L$ по условию задачи увеличение предмета должно уменьшиться в $n$ раз. Следовательно, должно выполняться соотношение: $k/n = F/(a + \Delta L - F)$. Исключая из этого соотношения неизвестное расстояние $a$, получим, что в рассматривавшемся случае должна была использоваться линза с фокусным расстоянием $F = k \Delta L / (n - 1) = 5 см$.
Увеличенное изображение можно получить, и располагая предмет на расстоянии $a$, меньшем фокусного расстояния $F$ собирающей линзы. Это подтверждает рисунок, на котором сделано построение изображения для подобной ситуации. Из этого рисунка можно сделать вывод, что в этом случае $k = F/(F - a)$, и при увеличении расстояния между линзой и предметом на величину $\Delta L$, если $a + \Delta L < F$, размер мнимого изображения будет увеличиваться, что противоречит условию задачи. Однако, если окажется, что $a + \Delta L > F$, то, требуя, чтобы в соответствии с условием задачи как и в предыдущем случае выполнялось соотношение $k/n = F/(a + \Delta L - F)$, получим, что при таком условии $F = k \Delta L/(n +1) = 5/3 см$.
Можно убедиться, что, используя рассеивающую линзу, получить увеличенное изображение действительного предмета невозможно. Таким образом, условия задачи могут быть выполнены только при использовании собирающей линзы, причем, если до и после увеличения расстояния между линзой и предметом его изображение было действительным, то фокусное расстояние линзы должно быть равно $F = k \Delta L/(n - 1) = 5 см$. Если же при первоначальном расположении изображение предмета было мнимым, а после отодвигания предмета стало действительным, то искомое фокусное расстояние должно быть равно $F = k \Delta L/(n + 1) = 5/3 см$.
