Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4448
2017-10-21 
При длительной зарядке аккумулятора от источника постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E} = 5 В$ скорость выделения водорода устанавливается равной $m = 0,2 г/ч$. При этом внутреннее сопротивление аккумулятора таково, что источник отдает ему максимальную мощность. Найти внутреннее сопротивление $r$ источника, если ЭДС аккумулятора $\mathcal{E}_{2} < \mathcal{E}/2$.
Решение:
После того, как аккумулятор полностью зарядился, ни его ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, ни его внутреннее сопротивление $r_{2}$ не должны изменяться при дальнейшем пропускании зарядного тока. Поэтому,можно считать, что эти характеристики аккумулятора не зависят от времени. Тогда в соответствии с законом Ома для полной цепи,"пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, можно утверждать, что ток, текущий через аккумулятор, должен быть равен $I = ( \mathcal{E} - \mathcal{E}_{a})/(r + r_{a})$, где $r$ - внутреннее сопротивление источника.
При соблюдении указанных выше условий энергия, отдаваемая источником, затрачивается только на совершение работы против сторонних сил в аккумуляторе и выделение тепла в нем. Следовательно, по закону Джоуля-Ленца и определению ЭДС отдаваемая источником мощность должна быть равна $N(r_{a}) = I^{2} r_{a} + I \mathcal{E}_{a} = ( \mathcal{E} - \mathcal{E}_{a})( \mathcal{E} r_{a} + \mathcal{E}_{a} r)/(r + r_{a})^{2}$. Функция $N(r_{a})$ достигает своего максимума при таком значении аргумента $r_{a} = r_{am}$, при котором производная этой функции по аргументу $r_{a}$ обращается в нуль. Поскольку $r + r_{a} \neq 0$ и $\mathcal{E} \neq \mathcal{E}_{a}$, из сказанного следует, что $\mathcal{E}(r + r_{am}) = 2( \mathcal{E} r_{am} + \mathcal{E}_{a} r)$, или $r_{am} = r( \mathcal{E} - 2 \mathcal{E}_{a} ) / \mathcal{E}$. Подставляя это значение внутреннего сопротивления аккумулятора в выражение для зарядного тока, получим $I = \mathcal{E}/2r$. С другой стороны, согласно закону Фарадея для электролиза сила тока через аккумулятор должна удовлетворять соотношению: $I = mF_{ф}z/ \mu$, где $F_{ф} \approx 96,5 кКл/моль$ - число Фарадея, $z = 1$ - валентность, а $\mu = 1 г/моль$ - молярная масса атома водорода. Следовательно, искомое внутреннее сопротивление источника должно быть равно $r = \mathcal{E} \mu / 2 m F_{ф} z \approx 0,47 Ом$.
При длительной зарядке аккумулятора от источника постоянного тока с ЭДС $\mathcal{E} = 5 В$ скорость выделения водорода устанавливается равной $m = 0,2 г/ч$. При этом внутреннее сопротивление аккумулятора таково, что источник отдает ему максимальную мощность. Найти внутреннее сопротивление $r$ источника, если ЭДС аккумулятора $\mathcal{E}_{2} < \mathcal{E}/2$.
Решение:
После того, как аккумулятор полностью зарядился, ни его ЭДС $\mathcal{E}_{2}$, ни его внутреннее сопротивление $r_{2}$ не должны изменяться при дальнейшем пропускании зарядного тока. Поэтому,можно считать, что эти характеристики аккумулятора не зависят от времени. Тогда в соответствии с законом Ома для полной цепи,"пренебрегая сопротивлением соединительных проводов, можно утверждать, что ток, текущий через аккумулятор, должен быть равен $I = ( \mathcal{E} - \mathcal{E}_{a})/(r + r_{a})$, где $r$ - внутреннее сопротивление источника.
При соблюдении указанных выше условий энергия, отдаваемая источником, затрачивается только на совершение работы против сторонних сил в аккумуляторе и выделение тепла в нем. Следовательно, по закону Джоуля-Ленца и определению ЭДС отдаваемая источником мощность должна быть равна $N(r_{a}) = I^{2} r_{a} + I \mathcal{E}_{a} = ( \mathcal{E} - \mathcal{E}_{a})( \mathcal{E} r_{a} + \mathcal{E}_{a} r)/(r + r_{a})^{2}$. Функция $N(r_{a})$ достигает своего максимума при таком значении аргумента $r_{a} = r_{am}$, при котором производная этой функции по аргументу $r_{a}$ обращается в нуль. Поскольку $r + r_{a} \neq 0$ и $\mathcal{E} \neq \mathcal{E}_{a}$, из сказанного следует, что $\mathcal{E}(r + r_{am}) = 2( \mathcal{E} r_{am} + \mathcal{E}_{a} r)$, или $r_{am} = r( \mathcal{E} - 2 \mathcal{E}_{a} ) / \mathcal{E}$. Подставляя это значение внутреннего сопротивления аккумулятора в выражение для зарядного тока, получим $I = \mathcal{E}/2r$. С другой стороны, согласно закону Фарадея для электролиза сила тока через аккумулятор должна удовлетворять соотношению: $I = mF_{ф}z/ \mu$, где $F_{ф} \approx 96,5 кКл/моль$ - число Фарадея, $z = 1$ - валентность, а $\mu = 1 г/моль$ - молярная масса атома водорода. Следовательно, искомое внутреннее сопротивление источника должно быть равно $r = \mathcal{E} \mu / 2 m F_{ф} z \approx 0,47 Ом$.
