Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4437
2017-10-21 
Сначала температуру одного моля идеального одноатомного газа изохорически увеличивают до некоторого значения. Затем его температуру увеличивают пропорционально объему по закону $T = aV$ до такой величины, что при последующем охлаждении по закону $T = \beta V^{2}$ газ переходит в начальное состояние. Найти КПД указанного цикла, зная начальный объем газа $V_{0}$ и постоянные коэффициенты $\alpha$ и $\beta$.
Решение:
Как обычно, будем считать, что изменение параметров газа происходит квазиравновесно. Вспоминая, что внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа с абсолютной температурой $T$ равна $1,5 RT$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, и что при изохорическом нагревании газ не совершает работы, на основании первого закона термодинамики можно утверждать, что газ на первом участке заданного цикла получает от нагревателя количество теплоты $\Delta Q_{12} = 1,5R (T_{2} - T_{1})$, где $T_{1}$ и $T_{2}$ - температуры газа до и после такого нагревания. На втором участке температура газа растет прямо пропорционально его объему. Поскольку давление $p$, объем $V$ и абсолютная температура $T$ моля идеального газа связаны между собой соотношением $pV = RT$, то на втором участке давление газа должно оставаться неизменным, а газ при нагревании должен совершить работу $\Delta A_{23} = (V_{3} - V_{0}) p_{2}$, где $V_{3}$ - объем газа после его изобарического нагревания, а $p_{2}$ - давление газа на этом участке. Если температуру газа в конце второго участка цикла обозначить $T_{3}$, то приращение внутренней энергии газа на этом участке должно быть равно $\Delta W_{23} = 1,5 R (T_{3} - T_{2})$. Следовательно, газ на втором участке цикла должен был получить от нагревателя количество теплоты $\Delta Q_{23} = \Delta A_{23} + \Delta W_{23}$. При переводе газа в исходное состояние его температура и объем уменьшаются по закону $p = R \beta V$. Поэтому на последнем участке цикла газ должен отдавать тепло холодильнику, а диаграмма цикла в $pV$-координатах должна иметь вид, показанный на рисунке. Таким образом, полученное газом за цикл количество теплоты должно быть равно $\Delta Q_{н} = \Delta W_{12} + \Delta W_{23} + \Delta A_{23}$. По условию задачи $T_{1} = \beta V_{0}^{2}, T_{2} = \alpha V_{0}$ и $T_{3} = \alpha V_{3} = \beta V_{3}^{2}$, а т.к. газ является идеальным, то с учетом введенных обозначений должны выполняться соотношения: $p_{1} V_{0} = RT_{1}, p_{2}V_{0} = RT_{2}$ и $p_{2}V_{3} = RT_{3}$, где $p_{1}$ - давление газа в исходном
состоянии. С учетом этих соотношений переданное нагревателем газу за цикл количество теплоты должно быть равно: $\Delta Q_{н} = ( \alpha - \beta V_{0} )(2,5 \alpha + 1,5 \beta V_{0}) R/ \beta$. Поскольку диаграмма цикла имеет вид прямоугольного треугольника с высотой $p_{2} - p_{1}$ и основанием $V_{3} - V_{0}$, то совершенная газом за цикл работа должна быть равна $\Delta A = 0,5 ( p_{2} - p_{1})(V_{3} - V_{0}) = 0,5R( \alpha - \beta V_{0})^{2}/ \beta$, а потому искомая величина КПД заданного цикла $\eta = \frac{ \Delta Q}{ \Delta Q_{н}} = \frac{ \alpha - \beta V_{0}}{5 \alpha + 3 \beta V_{0}}$.
Сначала температуру одного моля идеального одноатомного газа изохорически увеличивают до некоторого значения. Затем его температуру увеличивают пропорционально объему по закону $T = aV$ до такой величины, что при последующем охлаждении по закону $T = \beta V^{2}$ газ переходит в начальное состояние. Найти КПД указанного цикла, зная начальный объем газа $V_{0}$ и постоянные коэффициенты $\alpha$ и $\beta$.
Решение:
Как обычно, будем считать, что изменение параметров газа происходит квазиравновесно. Вспоминая, что внутренняя энергия моля идеального одноатомного газа с абсолютной температурой $T$ равна $1,5 RT$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, и что при изохорическом нагревании газ не совершает работы, на основании первого закона термодинамики можно утверждать, что газ на первом участке заданного цикла получает от нагревателя количество теплоты $\Delta Q_{12} = 1,5R (T_{2} - T_{1})$, где $T_{1}$ и $T_{2}$ - температуры газа до и после такого нагревания. На втором участке температура газа растет прямо пропорционально его объему. Поскольку давление $p$, объем $V$ и абсолютная температура $T$ моля идеального газа связаны между собой соотношением $pV = RT$, то на втором участке давление газа должно оставаться неизменным, а газ при нагревании должен совершить работу $\Delta A_{23} = (V_{3} - V_{0}) p_{2}$, где $V_{3}$ - объем газа после его изобарического нагревания, а $p_{2}$ - давление газа на этом участке. Если температуру газа в конце второго участка цикла обозначить $T_{3}$, то приращение внутренней энергии газа на этом участке должно быть равно $\Delta W_{23} = 1,5 R (T_{3} - T_{2})$. Следовательно, газ на втором участке цикла должен был получить от нагревателя количество теплоты $\Delta Q_{23} = \Delta A_{23} + \Delta W_{23}$. При переводе газа в исходное состояние его температура и объем уменьшаются по закону $p = R \beta V$. Поэтому на последнем участке цикла газ должен отдавать тепло холодильнику, а диаграмма цикла в $pV$-координатах должна иметь вид, показанный на рисунке. Таким образом, полученное газом за цикл количество теплоты должно быть равно $\Delta Q_{н} = \Delta W_{12} + \Delta W_{23} + \Delta A_{23}$. По условию задачи $T_{1} = \beta V_{0}^{2}, T_{2} = \alpha V_{0}$ и $T_{3} = \alpha V_{3} = \beta V_{3}^{2}$, а т.к. газ является идеальным, то с учетом введенных обозначений должны выполняться соотношения: $p_{1} V_{0} = RT_{1}, p_{2}V_{0} = RT_{2}$ и $p_{2}V_{3} = RT_{3}$, где $p_{1}$ - давление газа в исходном
состоянии. С учетом этих соотношений переданное нагревателем газу за цикл количество теплоты должно быть равно: $\Delta Q_{н} = ( \alpha - \beta V_{0} )(2,5 \alpha + 1,5 \beta V_{0}) R/ \beta$. Поскольку диаграмма цикла имеет вид прямоугольного треугольника с высотой $p_{2} - p_{1}$ и основанием $V_{3} - V_{0}$, то совершенная газом за цикл работа должна быть равна $\Delta A = 0,5 ( p_{2} - p_{1})(V_{3} - V_{0}) = 0,5R( \alpha - \beta V_{0})^{2}/ \beta$, а потому искомая величина КПД заданного цикла $\eta = \frac{ \Delta Q}{ \Delta Q_{н}} = \frac{ \alpha - \beta V_{0}}{5 \alpha + 3 \beta V_{0}}$.
