Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4436
2017-10-21 
Объем $V$ и температуру $T$ некоторого количества идеального одноатомного газа изменяют циклически в соответствии с $VT$-диаграммой, показанной на рисунке. Найти КПД этого цикла, если отношение тангенсов углов наклона прямых 3-4 и 1-2 к оси температур равно $n$, а отношение температур газа в состояниях 2 и 4 равно $3n$.
Решение:
Заданный цикл можно рассматривать в качестве рабочего цикла теплового двигателя, т.к. работа газа за такой цикл положительна. Как известно, максимальное значение КПД теплового двигателя равно отношению работы, совершенной ее рабочим веществом за цикл, к количеству теплоты, полученной этим веществом за то же время. В рассматриваемом цикле изменение параметров газа происходило квазиравновесно, т.к. в противном случае было бы невозможно ввести понятие температуры для всего объема газа, что противоречило бы условию задачи. В силу того, что газ обладает свойством текучести, со стороны газа на ограничивающие его объем поверхности в состоянии равновесия, могут действовать силы, направленные только по нормали к этим поверхностям. Поэтому работа газа при изобарическом увеличении его объема на величину $\Delta V$ будет равна $\Delta A = p \Delta V$, где $p$ - давление газа. Пользуясь этим выражением и разбивая заданный диапазон изменения объема газа на столь малые участки, чтобы в пределах каждого из них давление газа можно было бы считать постоянным, можно доказать, что при произвольном квазиравновесном изменении параметров работа газа за цикл будет пропорциональна площади, ограниченной линиями этого цикла, если его изобразить на $pV$ - диаграмме.
На участках 1-2 и 3-4 температура неизменного количества молей идеального газа изменяется пропорционально его объему. Следовательно, на основании уравнения Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что на этих участках изменение состояния газа происходит изобарически. На двух же других участках параметры газа изменяются изохорически. Поэтому $pV$-диаграмма заданного цикла имеет вид, показанный на рисунке, а работа газа за один цикл с учетом обозначений на этом рисунке равна $\Delta A = (V_{2} - V_{1})(p_{1} - p_{3})$. На участке 1-2 газ совершает работу $\Delta A_{12} = (V_{2} - V_{1})p_{1}$, а его температура (следовательно, и внутренняя энергия) возрастает. Согласно первому закону термодинамики получаемое газом от нагревателя количество теплоты на этом участке должно быть равно $\Delta Q_{12} = \Delta A_{12} + \Delta W_{12}$, где $\Delta W_{12}$ - приращение внутренней энергии газа на участке 1-2. На участке 2-3 газ работы не совершает, а его температура падает. Поэтому на этом участке газ должен отдавать тепло. Отдает газ тепло и на участке 3-4, т.к. на этом участке над газом совершают работу, а температура газа ^уменьшается. На участке 4-1 температура газа увеличивается, а его работа равна нулю. Следовательно, на этом участке газ получает от нагревателя количество теплоты $\Delta Q_{41} = \Delta W_{41}$. Вспоминая, что внутренняя энергия v молей идеального одноатомного газа с абсолютной температурой $T$, равна $1,5 \nu RT$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, получим $\Delta W_{12} + \Delta W_{41} = 1,5 \nu R (T_{2} - T_{4})$. По условию задачи $T_{2} = 3 nT_{4}$ и $V_{1}/T_{4} = nV_{1}/T_{1}$. Учитывая, что согласно уравнению Клапейрона-Менделеева $p_{i}V_{i} = \nu RT_{i}$, из предпоследнего соотношения получим $p_{1} = np_{3}$. Поэтому $\Delta Q = 2 \nu R(n - 1)T_{4}, \Delta Q_{н} = \Delta Q_{12} + \Delta Q_{41} = (6,5n - 1,5) \nu RT_{4}$, a искомый КПД $\eta = \frac{4(n-1)}{13n - 3}$.
Объем $V$ и температуру $T$ некоторого количества идеального одноатомного газа изменяют циклически в соответствии с $VT$-диаграммой, показанной на рисунке. Найти КПД этого цикла, если отношение тангенсов углов наклона прямых 3-4 и 1-2 к оси температур равно $n$, а отношение температур газа в состояниях 2 и 4 равно $3n$.
Решение:
Заданный цикл можно рассматривать в качестве рабочего цикла теплового двигателя, т.к. работа газа за такой цикл положительна. Как известно, максимальное значение КПД теплового двигателя равно отношению работы, совершенной ее рабочим веществом за цикл, к количеству теплоты, полученной этим веществом за то же время. В рассматриваемом цикле изменение параметров газа происходило квазиравновесно, т.к. в противном случае было бы невозможно ввести понятие температуры для всего объема газа, что противоречило бы условию задачи. В силу того, что газ обладает свойством текучести, со стороны газа на ограничивающие его объем поверхности в состоянии равновесия, могут действовать силы, направленные только по нормали к этим поверхностям. Поэтому работа газа при изобарическом увеличении его объема на величину $\Delta V$ будет равна $\Delta A = p \Delta V$, где $p$ - давление газа. Пользуясь этим выражением и разбивая заданный диапазон изменения объема газа на столь малые участки, чтобы в пределах каждого из них давление газа можно было бы считать постоянным, можно доказать, что при произвольном квазиравновесном изменении параметров работа газа за цикл будет пропорциональна площади, ограниченной линиями этого цикла, если его изобразить на $pV$ - диаграмме.
На участках 1-2 и 3-4 температура неизменного количества молей идеального газа изменяется пропорционально его объему. Следовательно, на основании уравнения Клапейрона-Менделеева можно утверждать, что на этих участках изменение состояния газа происходит изобарически. На двух же других участках параметры газа изменяются изохорически. Поэтому $pV$-диаграмма заданного цикла имеет вид, показанный на рисунке, а работа газа за один цикл с учетом обозначений на этом рисунке равна $\Delta A = (V_{2} - V_{1})(p_{1} - p_{3})$. На участке 1-2 газ совершает работу $\Delta A_{12} = (V_{2} - V_{1})p_{1}$, а его температура (следовательно, и внутренняя энергия) возрастает. Согласно первому закону термодинамики получаемое газом от нагревателя количество теплоты на этом участке должно быть равно $\Delta Q_{12} = \Delta A_{12} + \Delta W_{12}$, где $\Delta W_{12}$ - приращение внутренней энергии газа на участке 1-2. На участке 2-3 газ работы не совершает, а его температура падает. Поэтому на этом участке газ должен отдавать тепло. Отдает газ тепло и на участке 3-4, т.к. на этом участке над газом совершают работу, а температура газа ^уменьшается. На участке 4-1 температура газа увеличивается, а его работа равна нулю. Следовательно, на этом участке газ получает от нагревателя количество теплоты $\Delta Q_{41} = \Delta W_{41}$. Вспоминая, что внутренняя энергия v молей идеального одноатомного газа с абсолютной температурой $T$, равна $1,5 \nu RT$, где $R$ - универсальная газовая постоянная, получим $\Delta W_{12} + \Delta W_{41} = 1,5 \nu R (T_{2} - T_{4})$. По условию задачи $T_{2} = 3 nT_{4}$ и $V_{1}/T_{4} = nV_{1}/T_{1}$. Учитывая, что согласно уравнению Клапейрона-Менделеева $p_{i}V_{i} = \nu RT_{i}$, из предпоследнего соотношения получим $p_{1} = np_{3}$. Поэтому $\Delta Q = 2 \nu R(n - 1)T_{4}, \Delta Q_{н} = \Delta Q_{12} + \Delta Q_{41} = (6,5n - 1,5) \nu RT_{4}$, a искомый КПД $\eta = \frac{4(n-1)}{13n - 3}$.
