Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4428
2017-10-21 
В расположенной вертикально открытой с двух концов гладкой трубке находятся два тяжелых поршня, соединенные нитью, как показано на рисунке. Между поршнями находится моль гелия. Общая масса поршней с нитью равна $M$, а площадь поперечного сечения верхнего поршня на $\Delta S$ больше площади нижнего. На сколько должна измениться температура гелия, чтобы верхний поршень опустился на расстояние $h < H$, если атмосферное давление равно $p_{0}$?
Решение:
При решении задачи будем предполагать, что лабораторная система отсчета, относительно которой рассматриваемая система тел неподвижна, является инерциальной. Тогда, учитывая, что трубка является гладкой, условия равновесия поршней и нити можно записать в виде:
$m_{в}g + S_{в}(p_{0} - p_{в}) + F_{в} =0, m_{н}g - S_{н}(p_{0} - p_{н}) - F_{н} = 0, mg + F_{н} - F_{в} = 0$,
где $m_{в}$ и $m_{н}$ — массы верхнего и нижнего поршней, $m$ - масса нити, $g$ - величина ускорения свободного падения, $p_{в}$ и $p_{н}$ - давления гелия в исходном состоянии вблизи обращенных друг к другу поверхностей верхнего и нижнего поршней, соответственно, $F_{в}$ и $F_{н}$ - модули сил, с которыми нить действует на верхний и нижний поршни. Поскольку по условию задачи поршни тяжелые, то массой гелия следует пренебречь и считать, что давление гелия во всех точках одинаково, т.е. $p_{в} = p_{н} = p$. Учитывая, что $m_{в} + m_{н} + m = M$ и $S_{в} - S_{н} = \Delta S$, из составленных выше уравнений следует, что поршни будут находиться в равновесии, если $Mg = (p - p_{0}) \Delta S$.
При медленном опускании поршней объем гелия должен уменьшаться, хотя его давление должно оставаться неизменным и равным $p$. Поэтому неизменной должна оставаться и сила натяжения нити, и ее длина, (даже если нить деформируема). Учитывая это, можно утверждать, что при опускании верхнего поршня на расстояние $h$ объем гелия должен уменьшиться на величину $\Delta V = h \Delta S$. Если, как обычно, считать гелий идеальным газом, то согласно уравнению Клапейрона—Менделеева уменьшение объема моля гелия при неизменном давлении связано с понижением его температуры на величину $\Delta T$ соотношением: $p \Delta V = R \Delta T$, где $R$ - универсальная газовая постоянная. Подставляя в это соотношение значения $\Delta V$ и $p$, после алгебраических преобразований получим, что при соблюдении сделанных предположений температура гелия должна понизиться на величину $\Delta T = (Mg + p_{0} \Delta S)h/R$.
В расположенной вертикально открытой с двух концов гладкой трубке находятся два тяжелых поршня, соединенные нитью, как показано на рисунке. Между поршнями находится моль гелия. Общая масса поршней с нитью равна $M$, а площадь поперечного сечения верхнего поршня на $\Delta S$ больше площади нижнего. На сколько должна измениться температура гелия, чтобы верхний поршень опустился на расстояние $h < H$, если атмосферное давление равно $p_{0}$?
Решение:
При решении задачи будем предполагать, что лабораторная система отсчета, относительно которой рассматриваемая система тел неподвижна, является инерциальной. Тогда, учитывая, что трубка является гладкой, условия равновесия поршней и нити можно записать в виде:
$m_{в}g + S_{в}(p_{0} - p_{в}) + F_{в} =0, m_{н}g - S_{н}(p_{0} - p_{н}) - F_{н} = 0, mg + F_{н} - F_{в} = 0$,
где $m_{в}$ и $m_{н}$ — массы верхнего и нижнего поршней, $m$ - масса нити, $g$ - величина ускорения свободного падения, $p_{в}$ и $p_{н}$ - давления гелия в исходном состоянии вблизи обращенных друг к другу поверхностей верхнего и нижнего поршней, соответственно, $F_{в}$ и $F_{н}$ - модули сил, с которыми нить действует на верхний и нижний поршни. Поскольку по условию задачи поршни тяжелые, то массой гелия следует пренебречь и считать, что давление гелия во всех точках одинаково, т.е. $p_{в} = p_{н} = p$. Учитывая, что $m_{в} + m_{н} + m = M$ и $S_{в} - S_{н} = \Delta S$, из составленных выше уравнений следует, что поршни будут находиться в равновесии, если $Mg = (p - p_{0}) \Delta S$.
При медленном опускании поршней объем гелия должен уменьшаться, хотя его давление должно оставаться неизменным и равным $p$. Поэтому неизменной должна оставаться и сила натяжения нити, и ее длина, (даже если нить деформируема). Учитывая это, можно утверждать, что при опускании верхнего поршня на расстояние $h$ объем гелия должен уменьшиться на величину $\Delta V = h \Delta S$. Если, как обычно, считать гелий идеальным газом, то согласно уравнению Клапейрона—Менделеева уменьшение объема моля гелия при неизменном давлении связано с понижением его температуры на величину $\Delta T$ соотношением: $p \Delta V = R \Delta T$, где $R$ - универсальная газовая постоянная. Подставляя в это соотношение значения $\Delta V$ и $p$, после алгебраических преобразований получим, что при соблюдении сделанных предположений температура гелия должна понизиться на величину $\Delta T = (Mg + p_{0} \Delta S)h/R$.
