Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4426
2017-10-21 
К верхнему торцу тяжелого стержня, подвешенного на нити, совпадающей с осью стержня, на невесомой пружине - прикреплена легкая муфта. Верхний торец муфты находится на расстоянии $x_{0}$ от точки А подвеса стержня, а пружина деформирована на величину $\delta x$, существенно меньшую ее длины в недеформированном состоянии. В некоторый момент ($t = 0$) нить обрывается. Пренебрегая трением, найти закон движения муфты относительно точки А для последующих моментов времени.
Решение:
Из условия задачи следует, что стержень и прикрепленная к нему муфта после обрыва нити могут двигаться только поступательно по вертикали. Поэтому для ответа на вопрос задачи достаточно найти закон движения любой точки муфты. Если ось ОХ направить вертикально вниз и выбрать начало отсчета на этой оси совпадающим с точкой А, то до момента обрыва нити координата $x_{c}$ точки С на оси стержня на уровне, на котором находился бы верхний торец муфты при недеформированной пружине, по условию задачи будет равна $x_{0} - \delta x$. После обрыва нити ($t > 0$) на стержень.будут действовать сила тяжести $Mg$ и сила $F$ со стороны пружины, т.к. сил трения нет. Полагая, как обычно, что точка А покоится относительно инерциальной системы отсчета, уравнение движения стержня можно записать в виде: $N \ddot{x}_{c} = Mg + F_{x}$, где $x_{c}$ и $F_{x}$ — проекции ускорения стержня и силы $F$ на ось ОХ. По условию задачи масса муфты $m$ много меньше массы стержня $M$. Учитывая, что в момент обрыва нити стержень и муфта покоились, можно предположить, что максимальное значение $F_{x}$ не должно превышать $mg$, а потому при $t > 0$ стержень будет двигаться практически с постоянным ускорением $g$. Следовательно, закон движения стержня при сделанном предположении должен иметь вид: $x_{c}(t) = x_{0} - \delta x + gt^{2}/2$.
Поскольку на муфту действуют только сила тяжести и невесомая пружина, то уравнение движения муфты в проекции на ось ОХ будет иметь вид: $m \ddot{x}_{M} = mg - F_{x}$, где $x_{M}$ - координата верхнего торца муфты. Если коэффициент жесткости пружины обозначить $k$, то на основании закона Гука можно утверждать, что $F_{x} = k x(t)$, где $x(t) = x_{M} (t) - x_{c} (t)$. Поскольку $\ddot{x}_{M} = \ddot{x} + \ddot{x}_{c} = \ddot{x} + g$, то уравнение движения муфты можно представить в виде: $m \ddot{x} + mg = mg - kx$, или $m \ddot{x} = - kx$. Учитывая, что $x(0) = \delta x = mg/k$, и в момент обрыва нити стержень и муфта покоились, т.е. $\dot{x}(0) = 0$. решение уравнения движения муфты относительно стержня можно записать в виде:$x(t) = \delta x \cdot \cos t \sqrt{k/m}$. Поскольку максимальное значение косинуса не превышает единицы, то действительно $|F_{x} | \leq k \delta x = mg$, а потому искомый закон движения муфты относительно точки А при $t > О$ будет иметь вид:
$x_{M}(t) = x(t) + x_{x}(t) = x_{0} + ( \cos t \sqrt{g/ \delta x} - 1) \delta x + gt^{2}/2$.
К верхнему торцу тяжелого стержня, подвешенного на нити, совпадающей с осью стержня, на невесомой пружине - прикреплена легкая муфта. Верхний торец муфты находится на расстоянии $x_{0}$ от точки А подвеса стержня, а пружина деформирована на величину $\delta x$, существенно меньшую ее длины в недеформированном состоянии. В некоторый момент ($t = 0$) нить обрывается. Пренебрегая трением, найти закон движения муфты относительно точки А для последующих моментов времени.
Решение:
Из условия задачи следует, что стержень и прикрепленная к нему муфта после обрыва нити могут двигаться только поступательно по вертикали. Поэтому для ответа на вопрос задачи достаточно найти закон движения любой точки муфты. Если ось ОХ направить вертикально вниз и выбрать начало отсчета на этой оси совпадающим с точкой А, то до момента обрыва нити координата $x_{c}$ точки С на оси стержня на уровне, на котором находился бы верхний торец муфты при недеформированной пружине, по условию задачи будет равна $x_{0} - \delta x$. После обрыва нити ($t > 0$) на стержень.будут действовать сила тяжести $Mg$ и сила $F$ со стороны пружины, т.к. сил трения нет. Полагая, как обычно, что точка А покоится относительно инерциальной системы отсчета, уравнение движения стержня можно записать в виде: $N \ddot{x}_{c} = Mg + F_{x}$, где $x_{c}$ и $F_{x}$ — проекции ускорения стержня и силы $F$ на ось ОХ. По условию задачи масса муфты $m$ много меньше массы стержня $M$. Учитывая, что в момент обрыва нити стержень и муфта покоились, можно предположить, что максимальное значение $F_{x}$ не должно превышать $mg$, а потому при $t > 0$ стержень будет двигаться практически с постоянным ускорением $g$. Следовательно, закон движения стержня при сделанном предположении должен иметь вид: $x_{c}(t) = x_{0} - \delta x + gt^{2}/2$.
Поскольку на муфту действуют только сила тяжести и невесомая пружина, то уравнение движения муфты в проекции на ось ОХ будет иметь вид: $m \ddot{x}_{M} = mg - F_{x}$, где $x_{M}$ - координата верхнего торца муфты. Если коэффициент жесткости пружины обозначить $k$, то на основании закона Гука можно утверждать, что $F_{x} = k x(t)$, где $x(t) = x_{M} (t) - x_{c} (t)$. Поскольку $\ddot{x}_{M} = \ddot{x} + \ddot{x}_{c} = \ddot{x} + g$, то уравнение движения муфты можно представить в виде: $m \ddot{x} + mg = mg - kx$, или $m \ddot{x} = - kx$. Учитывая, что $x(0) = \delta x = mg/k$, и в момент обрыва нити стержень и муфта покоились, т.е. $\dot{x}(0) = 0$. решение уравнения движения муфты относительно стержня можно записать в виде:$x(t) = \delta x \cdot \cos t \sqrt{k/m}$. Поскольку максимальное значение косинуса не превышает единицы, то действительно $|F_{x} | \leq k \delta x = mg$, а потому искомый закон движения муфты относительно точки А при $t > О$ будет иметь вид:
$x_{M}(t) = x(t) + x_{x}(t) = x_{0} + ( \cos t \sqrt{g/ \delta x} - 1) \delta x + gt^{2}/2$.
