Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4425
2017-10-21 
После подвешивания грузика к невесомой пружине ее длина стала равна $L$. Найти длину $L_{0}$ пружины в недеформированном состоянии, если период малых вертикальных колебаний грузика на этой пружине в $n = 3$ раза меньше периода его малых колебаний в горизонтальном направлении.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, предполагать, что лабораторная система отсчета, относительно которой верхняя точка пружины остается неподвижной, является инерциальной. Следует также считать, что деформации пружины являются абсолютно упругими, а действием воздуха на пружину и груз можно пренебречь. Тогда согласно закону Гука масса груза $m$ и жесткость пружины $k$ должны удовлетворять условию: $(L - L_{0})k - mg = kx$, где $g$ - величина ускорения свободного падения. Кроме того, при смещении груза вертикально вниз на расстояние $x$ результирующая силы тяжести и силы упругой деформации пружины будет равна $(x + L - L_{0}) k - mg = kx$ и направлена к положению равновесия. Следовательно, уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось ОХ после смещения из равновесного положения, принятого за начало отсчета, будет иметь вид: $m \ddot{x} = - kx$. Поэтому при сделанных допущениях вертикальные колебания груза должны быть гармоническими. Учитывая, что при таких колебаниях квадрат угловой частоты $\omega_{в}$ равен модулю отношения ускорения груза к его смещению от положения равновесия, а произведение угловой частоты и периода колебаний равно $2 \pi$, для периода малых вертикальных колебаний получим
$T_{в} = 2 \pi \sqrt{m/k}$.
При незначительном отклонении груза в горизонтальном направлении от положения равновесия величина силы натяжения пружины, а следовательно, и ее длина, должны практически остаться неизменными. Учитывая, что при прохождении положения равновесия после такого отклонения скорость груза (а потому и его центростремительное ускорение) должна быть достаточно малой, можно пренебречь изменением длины пружины при таких колебаниях. Поэтому для вычисления периода малых колебаний груза в горизонтальном направлении можно воспользоваться формулой для периода колебаний математического маятника
$T_{г} = 2 \pi \sqrt{L/g}$.
Поскольку по условию задачи $n = T_{г} / T_{в}$, то $mg/k = L/n^{2}$, а искомая длина пружины в недеформированном состоянии должна быть равна
$L_{0} = L - L/n^{2} = 8L/9$.
После подвешивания грузика к невесомой пружине ее длина стала равна $L$. Найти длину $L_{0}$ пружины в недеформированном состоянии, если период малых вертикальных колебаний грузика на этой пружине в $n = 3$ раза меньше периода его малых колебаний в горизонтальном направлении.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, предполагать, что лабораторная система отсчета, относительно которой верхняя точка пружины остается неподвижной, является инерциальной. Следует также считать, что деформации пружины являются абсолютно упругими, а действием воздуха на пружину и груз можно пренебречь. Тогда согласно закону Гука масса груза $m$ и жесткость пружины $k$ должны удовлетворять условию: $(L - L_{0})k - mg = kx$, где $g$ - величина ускорения свободного падения. Кроме того, при смещении груза вертикально вниз на расстояние $x$ результирующая силы тяжести и силы упругой деформации пружины будет равна $(x + L - L_{0}) k - mg = kx$ и направлена к положению равновесия. Следовательно, уравнение движения груза в проекции на вертикальную ось ОХ после смещения из равновесного положения, принятого за начало отсчета, будет иметь вид: $m \ddot{x} = - kx$. Поэтому при сделанных допущениях вертикальные колебания груза должны быть гармоническими. Учитывая, что при таких колебаниях квадрат угловой частоты $\omega_{в}$ равен модулю отношения ускорения груза к его смещению от положения равновесия, а произведение угловой частоты и периода колебаний равно $2 \pi$, для периода малых вертикальных колебаний получим
$T_{в} = 2 \pi \sqrt{m/k}$.
При незначительном отклонении груза в горизонтальном направлении от положения равновесия величина силы натяжения пружины, а следовательно, и ее длина, должны практически остаться неизменными. Учитывая, что при прохождении положения равновесия после такого отклонения скорость груза (а потому и его центростремительное ускорение) должна быть достаточно малой, можно пренебречь изменением длины пружины при таких колебаниях. Поэтому для вычисления периода малых колебаний груза в горизонтальном направлении можно воспользоваться формулой для периода колебаний математического маятника
$T_{г} = 2 \pi \sqrt{L/g}$.
Поскольку по условию задачи $n = T_{г} / T_{в}$, то $mg/k = L/n^{2}$, а искомая длина пружины в недеформированном состоянии должна быть равна
$L_{0} = L - L/n^{2} = 8L/9$.
