Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4423
2017-10-21 
Из листовой резины склеили трубку радиуса $r$ и, заткнув один конец, стали надувать ее воздухом. Когда давление внутри трубки превысило атмосферное на величину $\Delta p$, ее радиус увеличился на $\Delta r$. Найти период малых вертикальных колебаний груза массы $m$, подвешенного на полоске этой резины длиной $L$ и шириной $b$. Считать, что при деформациях резина подчиняется Закону Гука, а ее масса значительно меньше $m$.
Решение:
Если пренебречь затуханием и учесть, что масса резиновой полоски много меньше массы груза, то уравнение его движения в проекции на ось ОХ, направленную вертикально вниз, при малых колебаниях вдоль этой оси согласно второму закону Ньютона и закону Гука можно записать в виде:
$m \ddot{x} = - k (x_{0} + x) + mg$,
где $k$ - жесткость полоски, $x_{0}$ - деформация полоски под действием неподвижно висящего на ней груза, $x$ - смешение груза от равновесного положения, $g$ - ускорение свободного падения. Поскольку при равновесии груза сумма сил, действующих на него, должна быть равна нулю, то $mg = kx_{0}$, и уравнение движения груза примет вид:
$m \ddot{x} = kx$.
Следовательно, при соблюдении указанных предположений малые вертикальные колебания груз будут гармоническими, причем период этих колебаний должен быть равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
Определить жесткость $k$ резиновой полоски можно, например, из следующих соображений. Действие избыточного давления $\Delta p$ в трубке, изготовленной из того же листа резины, из которого вырезана полоска, должно уравновешиваться силами натяжения резины. Согласно закону Гука линейная плотность сил натяжения, обусловленных увеличением радиуса трубки, т.е. величина силы натяжения в расчете на единицу длины трубки равна-WT
$f = Eh \frac{2 \pi (r + \Delta r) - 2 \pi r}{2 \pi r} = Eh \frac{ \Delta r}{r}$,
где $E$ - модуль Юнга, a $h$ - толщина листа резины. С другой стороны, величина силы избыточного давления $\Delta f$, действующей на узкую полоску трубки единичной длины, равна
$\Delta f = (r + \Delta r) \Delta \alpha \Delta p$,
где $\Delta \alpha$ - величина центрального угла, под которым видны края этой полоски. Написанное выражение справедливо при условии, что $\Delta \alpha \rightarrow 0$. Условие равновесия рассматриваемой полоски трубки, обратившись к рисунку, на котором показано ее поперечное сечение, можно записать в виде:
$\Delta f = 2 f \sin \Delta \alpha /2$
или учитывая, что$\Delta \alpha \rightarrow 0$,
$\Delta f = f \Delta \alpha$.
Подставляя в это соотношение полученные ранее выражения для $\Delta f$ и $f$, получим
$Eh = (1 + r/ \Delta r)r \Delta p$.
Наконец, учитывая, что жесткость полоски $k = Ebh/L$, после алгебраических преобразований найдем искомый период колебаний груза:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{mL}{(1 + r/ \Delta r) rb \Delta p}}$.
Из листовой резины склеили трубку радиуса $r$ и, заткнув один конец, стали надувать ее воздухом. Когда давление внутри трубки превысило атмосферное на величину $\Delta p$, ее радиус увеличился на $\Delta r$. Найти период малых вертикальных колебаний груза массы $m$, подвешенного на полоске этой резины длиной $L$ и шириной $b$. Считать, что при деформациях резина подчиняется Закону Гука, а ее масса значительно меньше $m$.
Решение:
Если пренебречь затуханием и учесть, что масса резиновой полоски много меньше массы груза, то уравнение его движения в проекции на ось ОХ, направленную вертикально вниз, при малых колебаниях вдоль этой оси согласно второму закону Ньютона и закону Гука можно записать в виде:
$m \ddot{x} = - k (x_{0} + x) + mg$,
где $k$ - жесткость полоски, $x_{0}$ - деформация полоски под действием неподвижно висящего на ней груза, $x$ - смешение груза от равновесного положения, $g$ - ускорение свободного падения. Поскольку при равновесии груза сумма сил, действующих на него, должна быть равна нулю, то $mg = kx_{0}$, и уравнение движения груза примет вид:
$m \ddot{x} = kx$.
Следовательно, при соблюдении указанных предположений малые вертикальные колебания груз будут гармоническими, причем период этих колебаний должен быть равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{m}{k}}$.
Определить жесткость $k$ резиновой полоски можно, например, из следующих соображений. Действие избыточного давления $\Delta p$ в трубке, изготовленной из того же листа резины, из которого вырезана полоска, должно уравновешиваться силами натяжения резины. Согласно закону Гука линейная плотность сил натяжения, обусловленных увеличением радиуса трубки, т.е. величина силы натяжения в расчете на единицу длины трубки равна-WT
$f = Eh \frac{2 \pi (r + \Delta r) - 2 \pi r}{2 \pi r} = Eh \frac{ \Delta r}{r}$,
где $E$ - модуль Юнга, a $h$ - толщина листа резины. С другой стороны, величина силы избыточного давления $\Delta f$, действующей на узкую полоску трубки единичной длины, равна
$\Delta f = (r + \Delta r) \Delta \alpha \Delta p$,
где $\Delta \alpha$ - величина центрального угла, под которым видны края этой полоски. Написанное выражение справедливо при условии, что $\Delta \alpha \rightarrow 0$. Условие равновесия рассматриваемой полоски трубки, обратившись к рисунку, на котором показано ее поперечное сечение, можно записать в виде:
$\Delta f = 2 f \sin \Delta \alpha /2$
или учитывая, что$\Delta \alpha \rightarrow 0$,
$\Delta f = f \Delta \alpha$.
Подставляя в это соотношение полученные ранее выражения для $\Delta f$ и $f$, получим
$Eh = (1 + r/ \Delta r)r \Delta p$.
Наконец, учитывая, что жесткость полоски $k = Ebh/L$, после алгебраических преобразований найдем искомый период колебаний груза:
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{mL}{(1 + r/ \Delta r) rb \Delta p}}$.
