Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4422
2017-10-21 
Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли так, что все время находится на прямой, соединяющей Землю и Луну, на таком расстоянии, что действие их гравитационных сил на корабль уравновешено. Найти вес космонавта в корабле, если масса космонавта равна $m$, отношение масс Земли и Луны равно $k$, радиус орбиты Луны в $n$ раз больше радиуса Земли, а ускорение свободного падения у поверхности Земли равно $g$.
Решение:
При решении задачи будем считать геоцентрическую систему отсчета инерциальной, т.е. не будем учитывать орбитального движения Земли. Одновременно будем пренебрегать влиянием всех остальных небесных тел на движение Луны и космического корабля. По условию задачи орбиту Луны следует считать круговой. Поэтому на основании второго закона Кеплера можно считать, что Луна по своей орбите движется равномерно. Следовательно, согласно законам кинематики ее ускорение направлено к центру Земли и равно $a_{n} = \omega^{2} R_{л}$, где $\omega$ - угловая скорость, а $R_{л}$ - радиус орбиты Луны. При сделанных предположениях можно утверждать, что центростремительное ускорение Луны обусловлено действием на нее только гравитационных сил со стороны Земли, т.к. разумно считать массу космического корабля много меньшей массы Земли. Тогда на основании закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона, пренебрегая размерами Луны, получим $m_{л} a_{n} = G m_{л}m_{з}/R_{л}^{2}$, где $G$ - гравитационная постоянная, а $m_{л}$ и $m_{з}$ - массы Луны и Земли, соответственно. Учитывая, что ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли $g = G m_{з}/R_{з}^{2}$, из написанных ранее соотношений следует, что угловая скорость движения Луны, а следовательно, и космического корабля (т.к. он все время остается на прямой, соединяющей Землю и Луну) равна $\omega = \sqrt{g/R_{л}} /n$. Здесь было учтено, что по условию задачи $R_{л}/R_{з} = n$.
По условию задачи космический корабль находится на таком расстоянии $r$ от Земли, что гравитационные силы, действующие на него со стороны Земли и Луны, уравновешивают друг друга. Это согласно закону всемирного тяготения возможно только в том случае, если с учетом ранее сделанных предположений выполняется соотношение: $m_{з}/r^{2} = m_{л} / (R_{л} - r)^{2}$. Поскольку по условию задачи $m_{з}/m_{л} = k$, то радиус орбиты корабля $r = \sqrt{k} R_{л}/(1 + \sqrt{k})$. Следовательно, центростремительное ускорение корабля определяется соотношением: $a_{кn} = \omega^{2} t = g \sqrt{k} /[ n^{2} (1 + \sqrt{k} )]$. Поскольку действие Земли и Луны на корабль взаимно компенсировано, а действием всех других небесных тел мы пренебрегаем и считаем геоцентрическую систему отсчета инерциальной, вычисленное ускорение может быть обеспечено только за счет работы двигателей самого корабля. Пренебрегая размерами корабля по сравнению с радиусом его орбиты, следует считать, что такое же ускорение относительно инерциальной системы отсчета имеет и космонавт. Поэтому на основании второго закона Ньютона получаем, что на космонавта корабль должен действовать с силой $F = m a_{кn}$. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона вес космонавта в системе отсчета, связанной с кораблем, равен
$P = \frac{mg \sqrt{k}}{( 1 +\sqrt{k}) n^{2}}$.
Космический корабль движется по круговой орбите вокруг Земли так, что все время находится на прямой, соединяющей Землю и Луну, на таком расстоянии, что действие их гравитационных сил на корабль уравновешено. Найти вес космонавта в корабле, если масса космонавта равна $m$, отношение масс Земли и Луны равно $k$, радиус орбиты Луны в $n$ раз больше радиуса Земли, а ускорение свободного падения у поверхности Земли равно $g$.
Решение:
При решении задачи будем считать геоцентрическую систему отсчета инерциальной, т.е. не будем учитывать орбитального движения Земли. Одновременно будем пренебрегать влиянием всех остальных небесных тел на движение Луны и космического корабля. По условию задачи орбиту Луны следует считать круговой. Поэтому на основании второго закона Кеплера можно считать, что Луна по своей орбите движется равномерно. Следовательно, согласно законам кинематики ее ускорение направлено к центру Земли и равно $a_{n} = \omega^{2} R_{л}$, где $\omega$ - угловая скорость, а $R_{л}$ - радиус орбиты Луны. При сделанных предположениях можно утверждать, что центростремительное ускорение Луны обусловлено действием на нее только гравитационных сил со стороны Земли, т.к. разумно считать массу космического корабля много меньшей массы Земли. Тогда на основании закона всемирного тяготения и второго закона Ньютона, пренебрегая размерами Луны, получим $m_{л} a_{n} = G m_{л}m_{з}/R_{л}^{2}$, где $G$ - гравитационная постоянная, а $m_{л}$ и $m_{з}$ - массы Луны и Земли, соответственно. Учитывая, что ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли $g = G m_{з}/R_{з}^{2}$, из написанных ранее соотношений следует, что угловая скорость движения Луны, а следовательно, и космического корабля (т.к. он все время остается на прямой, соединяющей Землю и Луну) равна $\omega = \sqrt{g/R_{л}} /n$. Здесь было учтено, что по условию задачи $R_{л}/R_{з} = n$.
По условию задачи космический корабль находится на таком расстоянии $r$ от Земли, что гравитационные силы, действующие на него со стороны Земли и Луны, уравновешивают друг друга. Это согласно закону всемирного тяготения возможно только в том случае, если с учетом ранее сделанных предположений выполняется соотношение: $m_{з}/r^{2} = m_{л} / (R_{л} - r)^{2}$. Поскольку по условию задачи $m_{з}/m_{л} = k$, то радиус орбиты корабля $r = \sqrt{k} R_{л}/(1 + \sqrt{k})$. Следовательно, центростремительное ускорение корабля определяется соотношением: $a_{кn} = \omega^{2} t = g \sqrt{k} /[ n^{2} (1 + \sqrt{k} )]$. Поскольку действие Земли и Луны на корабль взаимно компенсировано, а действием всех других небесных тел мы пренебрегаем и считаем геоцентрическую систему отсчета инерциальной, вычисленное ускорение может быть обеспечено только за счет работы двигателей самого корабля. Пренебрегая размерами корабля по сравнению с радиусом его орбиты, следует считать, что такое же ускорение относительно инерциальной системы отсчета имеет и космонавт. Поэтому на основании второго закона Ньютона получаем, что на космонавта корабль должен действовать с силой $F = m a_{кn}$. Следовательно, согласно третьему закону Ньютона вес космонавта в системе отсчета, связанной с кораблем, равен
$P = \frac{mg \sqrt{k}}{( 1 +\sqrt{k}) n^{2}}$.
