Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4421
2017-10-21 
Шарик массы $m$ прикреплен двумя невесомыми нерастяжимыми нитями длиной $L$ каждая к горизонтальной штанге, симметрично закрепленной на вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью $\omega$. Угол между нитями равен $\alpha$. Найти силы натяжения нитей.
Решение:
Поскольку в условии задачи размеры шарика не указаны,, будем решать задачу, считая его точечным. При установившемся движении, обусловленном равномерным вращением оси, траектория шарика должна иметь вид окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, и ускорение шарика должно быть направлено к центру этой окружности. Если, как это обычно и делается при решении подобных задач, пренебречь влиянием воздуха и учесть, что шарик подвешен на одинаковых нитях, прикрепленных симметрично к горизонтальной штанге, то, обратившись к рисунку, можно доказать, что радиус окружности равен $r = L( \cos \alpha /2) \sim \phi$, где $\phi$ - угол между плоскостью, в которой располагаются нити, и осью вращения. Кроме того, можно утверждать, что силы натяжения нитей должны быть равны по модулю, т.е. $| T_{1} | = | T_{2} | = T$. Отсюда в соответствии со вторым законом Ньютона следует, что уравнение движения шарика можно представить в виде:
$ma_{n} = m \omega^{2} r = 2 T ( \cos \alpha / 2) \sin \phi$, (1)
$mg = 2T ( \cos \alpha /2) \cos \phi$,
где $g$ - модуль ускорения свободного падения.
Возводя каждое из этих соотношений в квадрат и затем, складывая их, можно доказать, что сила натяжения нитей при любых угловых скоростях вращения оси
$T = \frac{mg}{2 \cos \alpha /2} \sqrt{g^{2} + \omega^{4}r^{2}} \geq \frac{mg}{2 \cos \alpha /2}$.
С другой стороны, из первого соотношения системы (1) вытекает, что при уменьшении угловой скорости вращения сила натяжения нитей должна неограниченно уменьшаться, если, конечно, считать, что $\phi$] (а следовательно, и $r$) не равно нулю. Из сказанного следует, что при установившемся движении шарика и $\omega^{2} < \omega_{кр}^{2} = \frac{g}{ L \cos \alpha /2}$ нити должны располагаться в одной вертикальной плоскости с осью вращения, т.е. $\phi = r = 0$, а $T = \frac{mg}{2 \cos \alpha /2}$. Если же $\omega > \omega_{кр}$, то $\phi = arccos \frac{g}{ \omega^{2} L \cos \alpha /1} \neq 0$, и $T = \frac{m \omega^{2} L}{2} > \frac{mg}{2 \cos \alpha}$.
Шарик массы $m$ прикреплен двумя невесомыми нерастяжимыми нитями длиной $L$ каждая к горизонтальной штанге, симметрично закрепленной на вертикальной оси, вращающейся с угловой скоростью $\omega$. Угол между нитями равен $\alpha$. Найти силы натяжения нитей.
Решение:
Поскольку в условии задачи размеры шарика не указаны,, будем решать задачу, считая его точечным. При установившемся движении, обусловленном равномерным вращением оси, траектория шарика должна иметь вид окружности, расположенной в горизонтальной плоскости, и ускорение шарика должно быть направлено к центру этой окружности. Если, как это обычно и делается при решении подобных задач, пренебречь влиянием воздуха и учесть, что шарик подвешен на одинаковых нитях, прикрепленных симметрично к горизонтальной штанге, то, обратившись к рисунку, можно доказать, что радиус окружности равен $r = L( \cos \alpha /2) \sim \phi$, где $\phi$ - угол между плоскостью, в которой располагаются нити, и осью вращения. Кроме того, можно утверждать, что силы натяжения нитей должны быть равны по модулю, т.е. $| T_{1} | = | T_{2} | = T$. Отсюда в соответствии со вторым законом Ньютона следует, что уравнение движения шарика можно представить в виде:
$ma_{n} = m \omega^{2} r = 2 T ( \cos \alpha / 2) \sin \phi$, (1)
$mg = 2T ( \cos \alpha /2) \cos \phi$,
где $g$ - модуль ускорения свободного падения.
Возводя каждое из этих соотношений в квадрат и затем, складывая их, можно доказать, что сила натяжения нитей при любых угловых скоростях вращения оси
$T = \frac{mg}{2 \cos \alpha /2} \sqrt{g^{2} + \omega^{4}r^{2}} \geq \frac{mg}{2 \cos \alpha /2}$.
С другой стороны, из первого соотношения системы (1) вытекает, что при уменьшении угловой скорости вращения сила натяжения нитей должна неограниченно уменьшаться, если, конечно, считать, что $\phi$] (а следовательно, и $r$) не равно нулю. Из сказанного следует, что при установившемся движении шарика и $\omega^{2} < \omega_{кр}^{2} = \frac{g}{ L \cos \alpha /2}$ нити должны располагаться в одной вертикальной плоскости с осью вращения, т.е. $\phi = r = 0$, а $T = \frac{mg}{2 \cos \alpha /2}$. Если же $\omega > \omega_{кр}$, то $\phi = arccos \frac{g}{ \omega^{2} L \cos \alpha /1} \neq 0$, и $T = \frac{m \omega^{2} L}{2} > \frac{mg}{2 \cos \alpha}$.
