Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4420
2017-10-21 
На внутренней поверхности вращающейся вокруг вертикальной оси конической воронки лежит небольшая шайба. Коэффициент трения шайбы о поверхность воронки равен $\mu$. Найти угловую скорость вращения воронки, если угол при ее вершине равен $2 \alpha$, а шайба находится на высоте $h$ над вершиной воронки.
Решение:
При решении задачи будем считать, что на шайбу, лежащую на внутренней поверхности вращающейся с угловой скоростью $\omega$ воронки, действуют только сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции со стороны воронки. Последнюю, как обычно, представим в виде двух составляющих: нормальной $\vec{N}$, направленной перпендикулярно плоскости соприкосновения шайбы с воронкой, и тангенциальной $\vec{F}_{ \tau}$, лежащей в этой плоскости. Будем также считать, что лабораторная система отсчета, относительно которой ось воронки неподвижна, является инерциальной. Тогда на основании второго закона Ньютона, пренебрегая в соответствии с условием задачи размерами шайбы, можно утверждать, что
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{ \tau}$, (1)
где $\vec{a}$ - ускорение шайбы относительно лабораторной системы отсчета, a $\vec{g}$ - ускорение свободного падения. Поскольку шайба остается неподвижной относительно воронки, траектория ее движения в выбранной лабораторной системе отсчета будет представлять собой окружность радиуса $R = h tg \alpha$, лежащую в горизонтальной плоскости. Считая угловую скорость вращения воронки постоянной, можно утверждать, что ускорение шайбы направлено по радиусу к центру указанной окружности и равно $a_{n} = \omega^{2} R$. Поэтому на основании уравнения (1) можно утверждать, что составляющая силы реакции воронки, перпендикулярная вертикальной плоскости, в которой располагается шайба и ось воронки, должна быть равна нулю. Далее, полагая тангенциальную составляющую направленной так, как показано на рисунке, из уравнения (1) получим:
$ma_{n} = N \cos \alpha - F_[ \tau] \sin \alpha$ и $0 = mg - N \sin \alpha - F_{ \tau} \cos \alpha$. (2)
Из этих уравнений следует, что
$F_{ \tau} = m(g \cos \alpha - a_{n} \sin \alpha)$ и $N = m(g \sin \alpha + a_{n} \cos \alpha)$ . (3)
С другой стороны, составляющая силы реакции воронки $F_{ \tau}$ обусловлена сухим'трением между шайбой и воронкой. Поэтому по закону Кулона величина этой составляющей не может превышать $\mu N$, а ее направление противоположно тому, в котором начала бы двигаться шайба при постепенном уменьшении коэффициента трения $\mu$. Отсюда следует, что проекция $F_{ \tau}$ на образующую воронки, на которой находится шайба, должна удовлетворять неравенству:
$- \mu N \leq F_{ \tau} \leq \mu N$. (4)
Подставляя в неравенство (4) соотношения (3), после алгебраических преобразований получим, что при сделанных предположениях искомая угловая скорость вращения воронки должна удовлетворять неравенству:
$\sqrt{ \frac{g( ctg \alpha - \mu)}{ h (tg \alpha + \mu )}} \leq \omega \leq \sqrt{ \frac{g ( ctg \alpha + \mu)}{h(tg \alpha - \mu)}}$,
которое может иметь место лишь при $\mu < tg \alpha < 1/ \mu$.
На внутренней поверхности вращающейся вокруг вертикальной оси конической воронки лежит небольшая шайба. Коэффициент трения шайбы о поверхность воронки равен $\mu$. Найти угловую скорость вращения воронки, если угол при ее вершине равен $2 \alpha$, а шайба находится на высоте $h$ над вершиной воронки.
Решение:
При решении задачи будем считать, что на шайбу, лежащую на внутренней поверхности вращающейся с угловой скоростью $\omega$ воронки, действуют только сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции со стороны воронки. Последнюю, как обычно, представим в виде двух составляющих: нормальной $\vec{N}$, направленной перпендикулярно плоскости соприкосновения шайбы с воронкой, и тангенциальной $\vec{F}_{ \tau}$, лежащей в этой плоскости. Будем также считать, что лабораторная система отсчета, относительно которой ось воронки неподвижна, является инерциальной. Тогда на основании второго закона Ньютона, пренебрегая в соответствии с условием задачи размерами шайбы, можно утверждать, что
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{ \tau}$, (1)
где $\vec{a}$ - ускорение шайбы относительно лабораторной системы отсчета, a $\vec{g}$ - ускорение свободного падения. Поскольку шайба остается неподвижной относительно воронки, траектория ее движения в выбранной лабораторной системе отсчета будет представлять собой окружность радиуса $R = h tg \alpha$, лежащую в горизонтальной плоскости. Считая угловую скорость вращения воронки постоянной, можно утверждать, что ускорение шайбы направлено по радиусу к центру указанной окружности и равно $a_{n} = \omega^{2} R$. Поэтому на основании уравнения (1) можно утверждать, что составляющая силы реакции воронки, перпендикулярная вертикальной плоскости, в которой располагается шайба и ось воронки, должна быть равна нулю. Далее, полагая тангенциальную составляющую направленной так, как показано на рисунке, из уравнения (1) получим:
$ma_{n} = N \cos \alpha - F_[ \tau] \sin \alpha$ и $0 = mg - N \sin \alpha - F_{ \tau} \cos \alpha$. (2)
Из этих уравнений следует, что
$F_{ \tau} = m(g \cos \alpha - a_{n} \sin \alpha)$ и $N = m(g \sin \alpha + a_{n} \cos \alpha)$ . (3)
С другой стороны, составляющая силы реакции воронки $F_{ \tau}$ обусловлена сухим'трением между шайбой и воронкой. Поэтому по закону Кулона величина этой составляющей не может превышать $\mu N$, а ее направление противоположно тому, в котором начала бы двигаться шайба при постепенном уменьшении коэффициента трения $\mu$. Отсюда следует, что проекция $F_{ \tau}$ на образующую воронки, на которой находится шайба, должна удовлетворять неравенству:
$- \mu N \leq F_{ \tau} \leq \mu N$. (4)
Подставляя в неравенство (4) соотношения (3), после алгебраических преобразований получим, что при сделанных предположениях искомая угловая скорость вращения воронки должна удовлетворять неравенству:
$\sqrt{ \frac{g( ctg \alpha - \mu)}{ h (tg \alpha + \mu )}} \leq \omega \leq \sqrt{ \frac{g ( ctg \alpha + \mu)}{h(tg \alpha - \mu)}}$,
которое может иметь место лишь при $\mu < tg \alpha < 1/ \mu$.
