Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 4415
2017-10-21 
Снаряд, вылетев из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, разорвался на две равные части в верхней точке траектории. Первая часть полетела вертикально вверх, а скорость второй части оказалась в $n$ раз больше скорости первой. Найти расстояние между осколками через время $\tau$ после взрыва, если к этому моменту еще ни один осколок не долетел до земли.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение снаряда и его частей. Будем решать задачу, используя декартову систему координат, ось ОХ которой направлена вдоль горизонтальной составляющей начальной скорости снаряда, а ось 0Y - вертикально вверх. Обозначим скорости частей снаряда сразу после взрыва $u_{1}$ и $u_{2}$. Поскольку после взрыва первая часть снаряда по условию задачи полетела вертикально, то горизонтальная составляющая ее скорости сразу после взрыва $u_{1x} = 0$. С учетом всего сказанного, пренебрегая импульсом сил тяжести за время взрыва и массой сгоревшей во время взрыва части снаряда, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что горизонтальная составляющая скорости второго осколка $u_{2x} = 2v \cos \alpha$. При этом было учтено, что снаряд разорвался на две равные части. Поскольку взрыв снаряда произошел в верхней точке траектории, то согласно закону сохранения импульса при сделанных предположениях вертикальные составляющие скоростей осколков должны удовлетворять соотношению: $u_{1x} + u_{2y} = 0$. Учитывая, что по условию задачи $| \vec{u}_{2} | = n | \vec{u}_{1} |, | \vec{u}_{1} | = | \vec{u}_{1y} |$ и $| u_{2} | = \sqrt{ u_{2x}^{2} + u_{2y}^{2} }$, из составленных уравнений следует, что скорость первого осколка сразу после взрыва при сделанных предположениях должна быть равна $u_{1} = 2v \cdot (n^{2} - 1)^{-0,5} \cos \alpha$. После взрыва оба осколка совершают свободное падение. Следовательно, один осколок относительно другого движется с неизменной скоростью, а потому искомое расстояние должно быть равно $L( \tau ) = u_{отн} \tau$, где $\vec{u}_{отн} = \vec{u}_{1} - \vec{u}_{2}$. Из этих соотношений после алгебраических преобразований получим:
$L( \tau ) = \tau \sqrt{(2v \cos \alpha)^{2} + 2(u_{1})^{2}} = 2v \tau \sqrt{ \frac{n^{2} + 3}{n^{2} - 1} } \cos \alpha$.
Снаряд, вылетев из пушки со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, разорвался на две равные части в верхней точке траектории. Первая часть полетела вертикально вверх, а скорость второй части оказалась в $n$ раз больше скорости первой. Найти расстояние между осколками через время $\tau$ после взрыва, если к этому моменту еще ни один осколок не долетел до земли.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, пренебрегать влиянием воздуха на движение снаряда и его частей. Будем решать задачу, используя декартову систему координат, ось ОХ которой направлена вдоль горизонтальной составляющей начальной скорости снаряда, а ось 0Y - вертикально вверх. Обозначим скорости частей снаряда сразу после взрыва $u_{1}$ и $u_{2}$. Поскольку после взрыва первая часть снаряда по условию задачи полетела вертикально, то горизонтальная составляющая ее скорости сразу после взрыва $u_{1x} = 0$. С учетом всего сказанного, пренебрегая импульсом сил тяжести за время взрыва и массой сгоревшей во время взрыва части снаряда, на основании закона сохранения импульса можно утверждать, что горизонтальная составляющая скорости второго осколка $u_{2x} = 2v \cos \alpha$. При этом было учтено, что снаряд разорвался на две равные части. Поскольку взрыв снаряда произошел в верхней точке траектории, то согласно закону сохранения импульса при сделанных предположениях вертикальные составляющие скоростей осколков должны удовлетворять соотношению: $u_{1x} + u_{2y} = 0$. Учитывая, что по условию задачи $| \vec{u}_{2} | = n | \vec{u}_{1} |, | \vec{u}_{1} | = | \vec{u}_{1y} |$ и $| u_{2} | = \sqrt{ u_{2x}^{2} + u_{2y}^{2} }$, из составленных уравнений следует, что скорость первого осколка сразу после взрыва при сделанных предположениях должна быть равна $u_{1} = 2v \cdot (n^{2} - 1)^{-0,5} \cos \alpha$. После взрыва оба осколка совершают свободное падение. Следовательно, один осколок относительно другого движется с неизменной скоростью, а потому искомое расстояние должно быть равно $L( \tau ) = u_{отн} \tau$, где $\vec{u}_{отн} = \vec{u}_{1} - \vec{u}_{2}$. Из этих соотношений после алгебраических преобразований получим:
$L( \tau ) = \tau \sqrt{(2v \cos \alpha)^{2} + 2(u_{1})^{2}} = 2v \tau \sqrt{ \frac{n^{2} + 3}{n^{2} - 1} } \cos \alpha$.
